习题三 (Homework 05 & 06)

本部分包含点集拓扑课程第五、第六次作业及其相关补充练习。内容涵盖度量空间的等价性、无穷乘积空间、连通性与道路连通性、不动点定理以及共有限拓扑的紧致性。

问题 1

设 \((X, d)\) 为一个度量空间，\(\mathcal{T}\) 是由 \(d\) 诱导的拓扑。定义函数：

\[ d^*(x, y) = \min\{d(x, y), 1\} \]

对于每一对 \(x, y \in X\)。

证明：

(i) \(d^*\) 是 \(X\) 上的一个度量。 (ii) \(d^*\) 诱导的拓扑 \(\mathcal{T}^*\) 等于 \(\mathcal{T}\)。 (iii) 是否总能找到一个常数 \(A \in \mathbb{R}_{>0}\)，使得对于所有的 \(x, y \in X\)，都有 \(A \cdot d(x, y) \le d^*(x, y)\)？

解答

(i) 证明 \(d^*\) 是度量

非负性与严格正性：由于 \(d(x, y) \ge 0\)，故 \(d^*(x, y) = \min\{d, 1\} \ge 0\)。且 \(d^*(x, y) = 0 \iff \min\{d, 1\} = 0 \iff d(x, y) = 0 \iff x = y\)。
对称性： \(d^*(x, y) = \min\{d(x, y), 1\} = \min\{d(y, x), 1\} = d^*(y, x)\)。
三角不等式：我们需要证明 \(d^*(x, z) \le d^*(x, y) + d^*(y, z)\)。
若 \(d^*(x, y) + d^*(y, z) \ge 1\)，由于 \(d^*(x, z) \le 1\)，不等式显然成立。
若 \(d^*(x, y) + d^*(y, z) < 1\)，由于 \(d^* \le d\)，这意味着 \(d^*(x, y) = d(x, y)\) 且 \(d^*(y, z) = d(y, z)\)。根据原度量 \(d\) 的三角不等式：\(d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z) < 1\)

因此 \(d^*(x, z) = \min\{d(x, z), 1\} = d(x, z)\)。故 \(d^*(x, z) \le d(x, y) + d(y, z) = d^*(x, y) + d^*(y, z)\)。

(ii) 证明 \(\mathcal{T}^* = \mathcal{T}\)

要证明两个度量诱导相同的拓扑，只需证明它们的开球可以互相包含。

对于任意 \(\epsilon > 0\)，取 \(\epsilon' = \min\{\epsilon, 1\}\)。则 \(B_{d^*}(x, \epsilon') \subseteq B_d(x, \epsilon)\)。因为若 \(d^*(x, y) < \epsilon' \le 1\)，则必有 \(d(x, y) = d^*(x, y) < \epsilon' \le \epsilon\)。
反之，对于任意 \(\epsilon > 0\)，取 \(\epsilon' = \min\{\epsilon, 1/2\}\)。则 \(B_d(x, \epsilon') \subseteq B_{d^*}(x, \epsilon)\)。因为若 \(d(x, y) < \epsilon' \le 1/2\)，则 \(d^*(x, y) = d(x, y) < \epsilon' \le \epsilon\)。

由于开球互为包含关系，两个度量生成的拓扑完全一致。

(iii) 关于常数 \(A\) 的讨论

结论：不一定能找到。

理由：若度量 \(d\) 是无界的（例如欧氏空间 \(\mathbb{R}^n\)），则对于任何 \(A > 0\)，我们总能找到距离足够远的两点 \(x, y\) 使得 \(d(x, y) > 1/A\)。此时：

\[ A \cdot d(x, y) > 1 \]

然而，根据定义 \(d^*(x, y) \le 1\) 永远成立。这导致 \(A \cdot d(x, y) > d^*(x, y)\)，与题目要求矛盾。只有当原度量空间本身是有界的时候，才一定能找到这样的 \(A\)。

问题 2

考虑笛卡尔积空间：

\[ \mathbb{R}^\omega := \prod_{i \in \mathbb{N}} \mathbb{R} = \{ (x_i)_{i \in \mathbb{N}} \mid x_i \in \mathbb{R} \} \]

令 \(R_{ez}^\omega \subseteq \mathbb{R}^\omega\) 是所有“最终为零”的序列构成的子集（即只有有限个分量非零）。

请分别在 积拓扑 (Product Topology) \(\mathcal{T}_p\) 和 箱拓扑 (Box Topology) \(\mathcal{T}_b\) 下，计算 \(R_{ez}^\omega\) 的内部与闭包。

解答

1. 在积拓扑 \(\mathcal{T}_p\) 下

内部 \((R_{ez}^\omega)^\circ\)：任意非空开集 \(U\) 必须包含一个基元素 \(\prod U_i\)（其中几乎所有 \(U_i = \mathbb{R}\)）。由于存在无限个分量可以取任意实数，该开集内必然包含具有无限个非零分量的序列。因此，\(U \not\subseteq R_{ez}^\omega\)，故内部为空集：\((R_{ez}^\omega)^\circ = \emptyset\)
闭包 \(\overline{R_{ez}^\omega}\)：对于任意序列 \(x = (x_i) \in \mathbb{R}^\omega\) 及其任意开邻域 \(U\)，我们可以选取一个充分大的 \(N\)，使得对于所有 \(i > N\) 都有 \(U_i = \mathbb{R}\)。构造序列 \(y = (x_1, x_2, \dots, x_N, 0, 0, \dots)\)。显然 \(y \in R_{ez}^\omega\) 且 \(y \in U\)。这意味着任意点都是极限点，故闭包为全空间：\(\overline{R_{ez}^\omega} = \mathbb{R}^\omega\)

2. 在箱拓扑 \(\mathcal{T}_b\) 下

内部 \((R_{ez}^\omega)^\circ\)：同理，箱拓扑中的任意非空开基元素依然允许分量在区间内自由取值。只要 \(U_i\) 不是单点集 \(\{0\}\)，我们总能构造出一个具有无限个非零项的序列落入该邻域。因此，内部依然是空集：\((R_{ez}^\omega)^\circ = \emptyset\)
闭包 \(\overline{R_{ez}^\omega}\)：箱拓扑的基元素形式为 \(\prod U_i\)，其中每一个分量都可以被限制。设 \(x\) 是具有无限个非零分量的序列（即 \(x \notin R_{ez}^\omega\)）。我们可以为每一个非零分量 \(x_i\) 选取一个不包含 \(0\) 的开区间 \(U_i = (x_i - \frac{|x_i|}{2}, x_i + \frac{|x_i|}{2})\)。对于为 \(0\) 的分量，任取邻域。这样构造的箱开集 \(\prod U_i\) 与 \(R_{ez}^\omega\) 的交集为空。因此，不属于的 \(R_{ez}^\omega\) 的点都不是极限点，故它是闭集：\(\overline{R_{ez}^\omega} = R_{ez}^\omega\)

问题 3

(i) 拓扑空间 \((\mathbb{R}^\omega, \mathcal{T}_p)\) 是否为可度量化空间？ (ii) 它是否是连通的？

（提示：对于可度量化，考虑函数 \(d^\omega(x, y) = \sup \{ \frac{d^*(x_i, y_i)}{i+1} : i \in \mathbb{N} \}\)，其中 \(d\) 是 \(\mathbb{R}\) 上的标准度量。）

解答

(i) 可度量化性

结论：是可度量化的。

理由：利用提示中的度量：

\[ d^\omega(x, y) = \sup_{i \in \mathbb{N}} \frac{\min\{|x_i - y_i|, 1\}}{i+1} \]

由于分母 \(i+1\) 随维度增加而趋于无穷，这保证了度量在远端坐标上的限制非常宽松，而在近端坐标上非常严格。这种衰减特性完美地对应了积拓扑“只约束有限个坐标”的结构。通过严格验证开球的包含关系，可以证明该度量诱导的拓扑恰好等于积拓扑 \(\mathcal{T}_p\)。

(ii) 连通性

结论：是连通的。

理由：实数轴 \(\mathbb{R}\) 在标准拓扑下是连通空间。根据拓扑学中的著名定理：连通空间的任意笛卡尔积空间（在积拓扑下）仍然是连通的。 由于 \(\mathbb{R}^\omega\) 是可数个连通空间的乘积，故它在积拓扑下是连通的。

问题 4

考虑拓扑空间 \((\mathbb{R}^\omega, \mathcal{T}_b)\)。令 \(U \subseteq \mathbb{R}^\omega\) 是由所有有界序列构成的子集，即：

\[ U = \{ x = (x_i) \mid \exists C_x, \text{使得对所有 } i, |x_i| \le C_x \} \]

证明 \(U\) 和 \(\mathbb{R}^\omega - U\) 构成了该空间的一个非平凡分割，并推断 \((\mathbb{R}^\omega, \mathcal{T}_b)\) 是否连通。

解答

1. 证明 \(U\) 是开集

对于任意有界序列 \(x = (x_i) \in U\)，其每一项都满足 \(|x_i| \le C_x\)。考虑箱开集：

\[ V = \prod_{i \in \mathbb{N}} (x_i - 1, x_i + 1) \]

对于 \(V\) 中的任意元素 \(y = (y_i)\)，有：

\[ |y_i| \le |x_i| + 1 \le C_x + 1 \]

因此 \(y\) 也是有界序列，即 \(V \subseteq U\)。由于每一个点都有一个完全包含于 \(U\) 的开邻域，故 \(U\) 是开集。

2. 证明 \(\mathbb{R}^\omega - U\) 是开集

对于任意无界序列 \(z = (z_i) \in \mathbb{R}^\omega - U\)，考虑相同的箱开集形式：

\[ W = \prod_{i \in \mathbb{N}} (z_i - 1, z_i + 1) \]

若存在某个 \(y \in W\) 是有界的（即 \(|y_i| \le M\)），则根据距离关系：

\[ |z_i| \le |y_i| + 1 \le M + 1 \]

这意味着 \(z\) 也是有界的序列，这与前提矛盾。因此，\(W\) 中的所有序列都必须是无界的，即 \(W \subseteq \mathbb{R}^\omega - U\)。故 \(\mathbb{R}^\omega - U\) 也是开集。

3. 结论

由于 \(U\) 和 \(\mathbb{R}^\omega - U\) 都是非空的开集，且它们互不相交，并集为全空间。这构成了空间的一个非平凡分割。因此，箱拓扑空间 \((\mathbb{R}^\omega, \mathcal{T}_b)\) 是不连通的。

问题 5

考虑 \(\mathbb{R}^2\) 中的如下子集，并赋予标准子空间拓扑：

\[ X = \{(x, 0) : x \in \mathbb{R}\} \cup \{(x, 1/x) : x \in \mathbb{R}_{>0}\} \]

问：空间 \(X\) 是否连通？请给出证明。

解答

结论：\(X\) 是不连通的。

证明过程：

我们将 \(X\) 拆分为两个天然的几何部分：

\[ A = \{(x, 0) \mid x \in \mathbb{R}\} \quad (\text{即 } x \text{ 轴}) \]

\[ B = \{(x, 1/x) \mid x \in \mathbb{R}_{>0}\} \quad (\text{即第一象限的双曲线支}) \]

显然 \(A\) 和 \(B\) 都是非空集合，且 \(A \cap B = \emptyset\)，\(X = A \cup B\)。为了证明 \(X\) 不连通，我们只需证明 \(A\) 和 \(B\) 在子空间 \(X\) 中都是闭集（从而构成非平凡分割）。

证明 \(A\) 是闭集： \(A\) 是一条完整的直线，它在全空间 \(\mathbb{R}^2\) 的标准拓扑中是一个闭集。根据子空间拓扑的性质，\(A = A \cap X\)，因此 \(A\) 在子空间 \(X\) 中必然是闭集。
证明 \(B\) 是闭集：我们需要考察 \(B\) 在全空间 \(\mathbb{R}^2\) 中的极限点。设存在序列 \((x_n, 1/x_n) \in B\) 且它在 \(\mathbb{R}^2\) 中收敛到某一点 \((x_0, y_0)\)。
若 \(x_0 > 0\)，由于 \(f(x) = 1/x\) 连续，则 \(y_0 = 1/x_0\)，此时极限点 \((x_0, y_0)\) 仍在 \(B\) 中。
若 \(x_0 = 0\)，随着 \(x_n \to 0^+\)，\(1/x_n \to +\infty\)。由于 \(y\) 坐标发散，该序列在 \(\mathbb{R}^2\) 中不收敛，不存在极限点。
若 \(x_0 < 0\)，序列中 \(x_n > 0\)，不可能收敛到负数。

这说明 \(B\) 包含了它在 \(\mathbb{R}^2\) 中的所有极限点，因此 \(B\) 在 \(\mathbb{R}^2\) 中本身就是一个闭集。进而在子空间 \(X\) 中，\(B = B \cap X\) 也是闭集。

由于 \(X = A \cup B\)，且 \(A, B\) 都是非空且互不相交的闭集。这构成了 \(X\) 的一个非平凡分割。因此，拓扑空间 \(X\) 是不连通的。

问题 6

证明 \(\mathbb{R}^2\) 的如下子空间（拓扑学家正弦曲线的变体）不是道路连通的：

\[ X = \{ (0,0) \} \cup \{ (x, \sin(1/x)) : x \in \mathbb{R}_{>0} \} \]

解答

我们采用反证法。假设 \(X\) 是道路连通的。

1. 构造道路：

既然 \(X\) 道路连通，对于原点 \((0,0)\) 和曲线上的点 \((1/\pi, 0)\)，必定存在一条连续映射 \(\gamma: [0, 1] \to X\)，使得：

\[ \gamma(0) = (0,0) \quad \text{且} \quad \gamma(1) = (1/\pi, 0) \]

2. 考虑分量函数：

令 \(\gamma(t) = (x(t), y(t))\)。由于 \(\gamma\) 是连续映射，其坐标分量函数 \(x(t)\) 和 \(y(t)\) 必须是闭区间 \([0, 1]\) 上的实值连续函数。

考虑集合 \(T = \{ t \in [0, 1] \mid x(t) = 0 \}\)。因为单点集 \(\{0\}\) 是闭集且 \(x(t)\) 连续，故 \(T\) 是 \([0, 1]\) 中的闭子集。令 \(t_0 = \sup T\)。由于已知 \(x(1) = 1/\pi > 0\)，必有 \(t_0 < 1\)。

根据上确界的性质，在 \(t_0\) 的右侧（即对于 \(t \in (t_0, 1]\)），有 \(x(t) > 0\)。

3. 导出矛盾：

当 \(t\) 从右侧趋近于 \(t_0\) 时（\(t \to t_0^+\)），我们有 \(x(t) \to 0^+\)。由于 \(\gamma\) 落在 \(X\) 中，当 \(x(t) > 0\) 时，必须满足：

\[ y(t) = \sin\left(\frac{1}{x(t)}\right) \]

由于 \(y(t)\) 也是连续函数，它在 \(t_0\) 处的右极限必须存在且等于 \(y(t_0)\)，即 \(y(t_0) = 0\)。然而，随着 \(x(t) \to 0^+\)，变量 \(1/x(t) \to +\infty\)。正弦函数 \(\sin(1/x(t))\) 将在 \([-1, 1]\) 之间进行无限次剧烈振荡，根本不存在极限。

这与 \(y(t)\) 必须在 \(t_0\) 处连续的要求产生了不可调和的矛盾。因此，不存在这样的连续道路 \(\gamma\)。故 \(X\) 不是道路连通的。

问题 7

证明 \((0, 1)\)，\((0, 1]\) 和 \([0, 1]\) 这三个空间两两不通过同胚映射相互关联。

解答

我们通过拓扑不变量（紧致性和割点性质）来区分这三个子空间：

1. 区分 \([0, 1]\) 与其他两者

在标准拓扑下，闭区间 \([0, 1]\) 是实数轴中的有界闭集。根据 Heine-Borel 定理，\([0, 1]\) 是紧致空间。而开区间 \((0, 1)\) 和半开半闭区间 \((0, 1]\) 都不是闭集，因此它们不是紧致的。由于同胚映射必须保持紧致性，故 \([0, 1]\) 与 \((0, 1)\)、\((0, 1]\) 均互不同胚。

2. 区分 \((0, 1)\) 与 \((0, 1]\)

我们利用割点 (Cut point) 的数量来进行拓扑区分。

对于 \((0, 1]\)，存在一个特殊的点（端点 \(1\)）。如果我们去掉该点，剩余的空间 \((0, 1]\) - \(\{1\} = (0, 1)\) 仍然是一个连通的区间。因此，\((0, 1]\) 存在非割点。
对于 \((0, 1)\)，其中的每一个点都是割点。无论去掉哪一个点 \(c \in (0, 1)\)，空间都会断裂成两个不相交的非空开集 \((0, c) \cup (c, 1)\)，从而变得不连通。

同胚映射必须保持割点与非割点的拓扑结构。既然两者的割点性质截然不同，故 \((0, 1)\) 与 \((0, 1]\) 不同胚。

综上所述，这三个空间两两不同胚。

问题 8

(i) 证明每一个连续函数 \(f: [0, 1] \to [0, 1]\) 都至少存在一个不动点 \(x \in [0, 1]\)，即满足 \(f(x) = x\)。 (ii) 如果将 \([0, 1]\) 替换为 \((0, 1)\) 或 \((0, 1]\)，上述结论是否依然成立？请给出理由。

解答

(i) 证明不动点的存在性

我们构造一个辅助函数 \(g(x) = f(x) - x\)。由于 \(f(x)\) 连续且恒等映射 \(x\) 也是连续的，故 \(g(x)\) 是闭区间 \([0, 1]\) 上的连续函数。

考察区间的端点值：

若 \(f(0) = 0\) 或 \(f(1) = 1\)，则不动点已经找到。
否则，必定有 \(f(0) > 0\)（因为 \(f\) 的值域在 \([0, 1]\) 内）且 \(f(1) < 1\)。
此时，代入辅助函数可得：\(g(0) = f(0) - 0 > 0\)，且 \(g(1) = f(1) - 1 < 0\)。

根据实数连续函数的介值定理 (Intermediate Value Theorem)，既然函数值在区间端点处异号，那么在区间 \((0, 1)\) 内部必定存在一点 \(x_0\)，使得：

\[ g(x_0) = 0 \]

即 \(f(x_0) - x_0 = 0 \implies f(x_0) = x_0\)。故 \(f\) 在 \([0, 1]\) 上必有至少一个不动点。

(ii) 讨论其他区间情况

结论：在 \((0, 1)\) 和 \((0, 1]\) 上，该结论均不成立。

对于 \((0, 1)\) 的反例：构造连续函数 \(f(x) = x^2\)。它将 \((0, 1)\) 映射到 \((0, 1)\)。求解方程 \(x^2 = x\)，得解为 \(x=0\) 或 \(x=1\)。但这两人点都不在开区间 \((0, 1)\) 内。因此该函数没有不动点。（或者取 \(f(x) = (x+1)/2\)，解为 \(x=1\)，同样不在区间内）。
对于 \((0, 1]\) 的反例：构造连续函数 \(f(x) = x/2\)。它是一个从 \((0, 1]\) 映射到 \((0, 1/2] \subseteq (0, 1]\) 的函数。求解方程 \(x/2 = x\)，唯一的解是 \(x=0\)。但这唯一的解不在区间 \((0, 1]\) 内部。因此也没有不动点。

问题 9

设 \((X, \mathcal{T})\) 为一个拓扑空间。点 \(x \in X\) 的一个开邻域基 (Open neighborhood basis) 是一族开集 \(\{B_i\}_{i \in I}\)，满足：

对于所有的 \(i\)，都有 \(x \in B_i\)；
对于任意一个包含 \(x\) 的开集 \(U\)，必定存在某个 \(B_i\) 使得 \(B_i \subseteq U\)。

如果拓扑空间 \(X\) 中的每一个点都拥有一个由道路连通集构成的开邻域基，我们就称 \(X\) 是局部道路连通的 (Locally path-connected)。

证明：如果 \(X\) 是连通的，并且是局部道路连通的，那么 \(X\) 必定是道路连通的。 (提示：固定 \(x \in X\)，考虑 \(X\) 中所有能与 \(x\) 用道路连接的点构成的集合 \(S_x\)。证明 \(S_x\) 是既开又闭集。)

解答

1. 构造连通分支集合 \(S_x\)

固定空间中的任意一点 \(x \in X\)。我们定义集合 \(S_x\) 为能通过道路与 \(x\) 连通的点的集合：

\[ S_x = \{ y \in X \mid \text{存在道路 } \gamma: [0, 1] \to X, \text{ 使得 } \gamma(0) = x \text{ 且 } \gamma(1) = y \} \]

常值道路（恒等于 \(x\)）显然连接了 \(x\) 自身，因此 \(x \in S_x\)，即 \(S_x\) 是非空集。

2. 证明 \(S_x\) 是开集

任取 \(y \in S_x\)。因为 \(X\) 是局部道路连通的，对于点 \(y\) 和全空间 \(X\)，必定存在 \(y\) 的开邻域基中的一个道路连通的开集 \(B_y\)，使得 \(y \in B_y \subseteq X\)。

考察 \(B_y\) 中的任意一点 \(z\)：

因为 \(y \in S_x\)，存在从 \(x\) 到 \(y\) 的道路。
因为 \(B_y\) 是道路连通的，存在从 \(y\) 到 \(z\) 的道路。

拼接这两条道路即可得到从 \(x\) 到 \(z\) 的道路，从而推导出 \(z \in S_x\)。既然对任意 \(z \in B_y\) 都有 \(z \in S_x\)，则 \(B_y \subseteq S_x\)。这说明 \(S_x\) 中的每一个点都有一个完全包含在 \(S_x\) 内部的开邻域，因此 \(S_x\) 是一个开集。

3. 证明 \(S_x\) 是闭集

我们需要证明它的补集 \(X \setminus S_x\) 是开集。

任取 \(w \in X \setminus S_x\)。同理，由局部道路连通性，点 \(w\) 必定拥有一个道路连通的开邻域 \(B_w\)。如果这个开邻域 \(B_w\) 与 \(S_x\) 有交集，假设存在点 \(v \in B_w \cap S_x\)：

\(v \in S_x\) 意味着存在从 \(x\) 到 \(v\) 的道路。
\(B_w\) 道路连通意味着存在从 \(v\) 到 \(w\) 的道路。

拼接道路后推导出 \(w \in S_x\)，这与 \(w \in X \setminus S_x\) 矛盾！因此，\(B_w \cap S_x = \emptyset\)，即 \(B_w \subseteq X \setminus S_x\)。由于补集中的每一点都有开邻域包含在补集内，故 \(X \setminus S_x\) 是开集，\(S_x\) 是闭集。

4. 结论

综上所述，\(S_x\) 是拓扑空间 \(X\) 中的一个非空的既开又闭集。由于全空间 \(X\) 是连通的，空间中唯一的非空既开又闭集只能是 \(X\) 本身。因此：

\[ S_x = X \]

这表示空间中的每一个点都可以用道路与 \(x\) 连接，故 \(X\) 必定是道路连通的。

问题 10

考虑 \(\mathbb{R}\) 上的共有限拓扑 \(\mathcal{T} = \{ \emptyset \} \cup \{ \mathbb{R} - A : A \text{ 为有限集} \}\)。

证明：每一个子集 \(X \subseteq \mathbb{R}\)（赋予子空间拓扑）都是紧致的。

解答