第十三章：分离公理

在点集拓扑中，分离公理（Separation Axioms）用于刻画拓扑空间中点与点、点与闭集、闭集与闭集之间，能够被开集分离的程度。上一次课我们讨论了分离公理的层级关系：

\[ T_0 < T_1 < T_2 < T_3 < T_4 \]

本章我们将深入探讨这些公理的等价刻画及其重要性质。

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1. \(T_1\) 空间与 \(T_2\) 空间 (Hausdorff)

引理 13.1 (\(T_1\) 空间的单点集性质)

对于拓扑空间 \((X, \mathcal{T})\)，以下条件等价：

• (1) \(X\) 属于 \(T_1\) 空间。

• (2) 对于任意 \(x \in X\)，单点集 \(\{x\}\) 是闭集。

示例分析：

• (1) 每一个度量空间 \((X, d)\) 都是 \(T_2\) 空间（进而也是 \(T_1\) 空间）。

• (2) 设 \(X\) 为一个包含无穷多个点的集合（即 \(\text{Card}(X) = \infty\)）。赋予其 余有限拓扑 (cofinite topology)：

\[ \tau = \{\emptyset, X\} \cup \{X - S \mid S \text{ 是有限集}\} \]

该空间是 \(T_1\) 空间，因为任何单点集的补集是有限集，因而是开集，所以单点集是闭集。但它 不是 \(T_2\) 空间，因为在这个拓扑中，任意两个非空开集的交集都不为空，无法将不同的两点用不相交的开集分离。

引理 13.2 (\(T_2\) 空间的对角线特征)

对于拓扑空间 \((X, \mathcal{T})\)，以下条件等价：

• (1) \(X\) 是 \(T_2\) 空间（即 Hausdorff 空间）。

• (2) 对角线集合 \(\Delta = \{(x,x) \mid x \in X\}\) 在乘积空间 \(X \times X\) 中是闭集。

引理 13.2 的证明

(1) \(\Rightarrow\) (2)：

我们想要证明 \(X \times X - \Delta\) 是开集。

任取 \((x,y) \in X \times X - \Delta\)，这说明 \(x \ne y\)。

由于 \(X\) 是 \(T_2\) 空间，必然存在分别包含 \(x\) 和 \(y\) 的开集 \(U_x\) 和 \(U_y\)，使得：

\[ U_x \cap U_y = \emptyset \]

这蕴含着，它们在乘积空间中构成的开集不会与对角线相交：

\[ \Delta \cap (U_x \times U_y) = \emptyset \]

因此，开邻域 \(U_x \times U_y\) 满足：

\[ U_x \times U_y \subseteq X \times X - \Delta \]

所以 \(X \times X - \Delta\) 是开集，即 \(\Delta\) 是闭集。

(2) \(\Rightarrow\) (1)：

只需将上述推理过程反转。若 \(\Delta\) 是闭集，则其补集为开集，对补集中的任意点对 \((x,y)\) 都可以找到基元素 \(U_x \times U_y\) 使其不与对角线相交，从而推出 \(U_x\) 和 \(U_y\) 不相交，满足 \(T_2\) 性质。 \(\square\)

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2. 正则空间与 \(T_3\) 空间

定义 13.1 (正则空间 Regular Space)

拓扑空间 \((X, \mathcal{T})\) 称为 正则的 (regular)，如果对于任意闭集 \(A \subseteq X\) 以及任意不属于 \(A\) 的点 \(x \in X - A\)，存在开集 \(U_A\) 和 \(U_x\)，使得：

\[ A \subseteq U_A, \quad x \in U_x, \quad U_A \cap U_x = \emptyset \]

如果一个空间既是正则空间，又是 \(T_1\) 空间（从而单点集是闭集），则称其为 \(T_3\) 空间。

注记：

• (1) \(T_3 \implies T_2\)。因为由于 \(T_1\) 性质，单点集是闭的，用正则性分离单点集和不属于它的点，就等价于 \(T_2\) 分离。

• (2) 这里的术语定义与部分教材（如 Munkres）有所不同。在某些文献中，正则自带 \(T_1\)；请以本讲义明确区分正则与 \(T_3\) 的定义为准。

经典反例：\(K\)-拓扑

令 \(A = \{1/n \mid n \ge 1\}\)。考虑实数集 \(\mathbb{R}\) 上由以下基生成的拓扑 \(\tau_K\)：

\[ \mathcal{B} := \{(a,b) \mid a, b \in \mathbb{R}\} \cup \{(a,b) - A \mid a, b \in \mathbb{R}\} \]

空间 \((\mathbb{R}, \tau_K)\) 是 \(T_2\) 空间，但它 不是 \(T_3\) 空间。 其原因在于，集合 \(A\) 在该拓扑下是闭集，且 \(0 \notin A\)。但是，任何包含 \(0\) 的开集必定与任何包含 \(A\) 的开集相交，无法将它们分离。

引理 13.3 (正则性的等价刻画)

对于拓扑空间 \((X, \mathcal{T})\)，以下条件等价：

• (1) \(X\) 是正则空间。

• (2) 对于任意点 \(x\) 及其开邻域 \(U\)（即 \(x \in U\)），存在开集 \(V\) 使得：

\[ x \in V \subseteq \overline{V} \subseteq U \]

引理 13.3 的证明

(1) \(\Rightarrow\) (2)：

假设 \(x \in U\) 为开集。考虑闭集 \(X - U\)。由于空间是正则的，点 \(x\) 和闭集 \(X - U\) 可以被分离。

存在开集 \(V \ni x\) 以及开集 \(W \supseteq X - U\)，使得：

\[ V \cap W = \emptyset \]

这说明 \(V \subseteq X - W\)。由于 \(X - W\) 是闭集（它是开集 \(W\) 的补集），包含 \(V\) 的最小闭集 \(\overline{V}\) 必然也包含于 \(X - W\)：

\[ \overline{V} \subseteq X - W \subseteq X - (X - U) = U \]

因此，存在开集 \(V\) 使得 \(x \in V \subseteq \overline{V} \subseteq U\)。

(2) \(\Rightarrow\) (1)：

给定闭集 \(A\) 和点 \(x \in X - A\)。由于 \(X - A\) 是开集，由条件 (2) 可知，存在开集 \(V\) 使得：

\[ x \in V \subseteq \overline{V} \subseteq X - A \]

令 \(U_A = X - \overline{V}\)，由于 \(\overline{V}\) 是闭集，则 \(U_A\) 是开集，且显然有 \(A \subseteq U_A\)。

同时，我们有：

\[ V \cap U_A = V \cap (X - \overline{V}) = \emptyset \]

因此 \(x\) 和 \(A\) 被不相交的开集 \(V\) 和 \(U_A\) 分离，证明空间是正则的。 \(\square\)

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3. 正规空间与 \(T_4\) 空间

定义 13.2 (正规空间 Normal Space)

拓扑空间 \((X, \mathcal{T})\) 称为 正规的 (normal)，如果对于任意两个不相交的闭集 \(A, B \subseteq X\)（即 \(A \cap B = \emptyset\)），存在开集 \(U, V\) 使得：

\[ A \subseteq U, \quad B \subseteq V, \quad U \cap V = \emptyset \]

如果一个空间既是正规空间，又是 \(T_1\) 空间，则称其为 \(T_4\) 空间。

注记：

• (1) \(T_4 \implies T_3 \implies T_2 \implies T_1 \implies T_0\)。

• (2) 如果没有 \(T_1\) 的前提条件，正规空间并不一定意味着它是正则空间。

• (3) 每一个度量空间 \((X, d)\) 都是 \(T_4\) 空间。

与正则性类似，正规性也有一个通过闭包的等价刻画：

引理 13.4 (正规性的等价刻画)

对于拓扑空间 \((X, \mathcal{T})\)，以下条件等价：

• (1) \(X\) 是正规空间。

• (2) 给定任意闭集 \(A\) 及其开邻域 \(U\)（即 \(A \subseteq U\)），必然存在开集 \(V\) 使得：

\[ A \subseteq V \subseteq \overline{V} \subseteq U \]

3.1 分离公理的子空间与乘积属性

• 子空间遗传性：\(T_2\) 和 \(T_3\) 的任意子空间仍然分别是 \(T_2\) 空间和 \(T_3\) 空间。但是，正规性一般不具备子空间遗传性。

• 乘积空间性质：任意无穷乘积空间 \(\prod_{i \in I} X_i\) 是 \(T_2\) (或 \(T_3\))，当且仅当每一个坐标空间 \(X_i\) 都是 \(T_2\) (或 \(T_3\))。

• 紧致性的加持：一个空间如果既是 \(T_2\) 空间（Hausdorff）又是紧致空间，那么它必定是 \(T_4\) 空间。

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4. 正则性与第二可数性推导正规性

这是一个极其重要的定理，它在 Urysohn 距离化定理的证明中起到了桥梁作用。

命题 13.5

一个拓扑空间如果是 正则的 (regular) 且是 第二可数的 (2nd countable)，那么它必定是 正规的 (normal)。

因此，\(T_3\) 空间 + 第二可数 \(\implies T_4\) 空间。

命题 13.5 的证明

设 \((X, \mathcal{T})\) 是正则且第二可数的空间，令 \(\mathcal{B} = \{B_i\}_{i \in \mathbb{N}}\) 为它的一个可数拓扑基。

给定任意两个不相交的闭集 \(A, C \subseteq X\)。

首先，对于点 \(x \in A\)，由于 \(x \notin C\) 且空间是正则的，根据引理 13.3，存在一个基元素 \(U_j \in \mathcal{B}\)，使得：

\[ x \in U_j \subseteq \overline{U_j} \subseteq X - C \]

让 \(x\) 遍历 \(A\)，我们从基 \(\mathcal{B}\) 中挑出了一个覆盖 \(A\) 的开集族。由于基是可数的，我们挑选出的这族开集也是可数的。我们将其重新排列为序列 \(\{U_n\}_{n \ge 1}\)。该序列满足：

\[ A \subseteq \bigcup_{n \ge 1} U_n, \quad \text{且} \quad \overline{U_n} \subseteq X - C \]

类似地，对于闭集 \(C\)，我们可以从基 \(\mathcal{B}\) 中挑出一个可数序列 \(\{V_n\}_{n \ge 1}\) 来覆盖 \(C\)，并且满足：

\[ C \subseteq \bigcup_{n \ge 1} V_n, \quad \text{且} \quad \overline{V_n} \subseteq X - A \]

现在的挑战在于，虽然这两个可数开覆盖分别避开了另一个闭集，但它们彼此之间可能存在交集（即某个 \(U_j\) 可能与某个 \(V_k\) 相交）。我们需要对它们进行系统的“削减”，以确保得到两个完全不相交的总体开集。

对于每一个 \(n \ge 1\)，我们定义新的开集：

\[ U_n' = U_n - \bigcup_{i=1}^n \overline{V_i} \]

\[ V_n' = V_n - \bigcup_{i=1}^n \overline{U_i} \]

由于每次减去的都是有限个闭集的并集（这依然是闭集），所以 \(U_n'\) 和 \(V_n'\) 都是开集。

现在定义总的包裹开集：

\[ U' := \bigcup_{n \ge 1} U_n', \quad V' := \bigcup_{n \ge 1} V_n' \]

断言 1：\(A \subseteq U'\) 且 \(C \subseteq V'\)

对于任意 \(x \in A\)，存在某个最先覆盖它的 \(U_n\)。因为 \(A \cap \overline{V_i} = \emptyset\)（所有的 \(\overline{V_i}\) 都包含在 \(X-A\) 中），所以从 \(U_n\) 中减去任何 \(\overline{V_i}\) 都不会把 \(x\) 剔除掉。因此 \(x \in U_n' \subseteq U'\)。对 \(C\) 同理可证。

断言 2：\(U' \cap V' = \emptyset\)

假设存在一点 \(z \in U' \cap V'\)。这说明必然存在某个 \(j\) 和某个 \(k\)，使得：

\[ z \in U_j' \quad \text{且} \quad z \in V_k' \]

不妨设 \(j \le k\)（由于对称性，这不失一般性）。

根据 \(V_k'\) 的定义，我们有：

\[ V_k' = V_k - \bigcup_{i=1}^k \overline{U_i} \]

既然 \(j \le k\)，那么在构造 \(V_k'\) 时，\(\overline{U_j}\) 已经被明确地减去了。这意味着 \(V_k'\) 中绝不可能包含任何属于 \(\overline{U_j}\) 的点。

但是，由于 \(z \in U_j'\)，且根据定义 \(U_j' \subseteq U_j \subseteq \overline{U_j}\)，所以 \(z\) 必然属于 \(\overline{U_j}\)。这产生了一个直接的矛盾！

因此，假设错误，\(U'\) 和 \(V'\) 必定是不相交的。这就证明了 \(X\) 是正规空间。 \(\square\)

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