第六章：Banach 空间与商空间

在第五章中，我们引入了赋范线性空间的概念。为了在这些空间中完善地讨论极限运算与微积分，我们需要空间具有“无漏洞”的性质。本章将重点讨论赋范线性空间的完备性，即 Banach 空间，并介绍商空间和直和空间的拓扑构造。

1. Banach 空间 (Banach Space)

定义 6.1 (Banach 空间)

完备的赋范线性空间称为 巴拿赫 (Banach) 空间。即在赋范线性空间中，如果任何一个 Cauchy 列（基本点列）都依范数收敛于该空间中的某一点，则称该空间是完备的。

在第一章中已经证明了有限维空间 \(\mathbb{R}^n\)、\(\mathbb{C}^n\) 以及连续函数空间 \(C[a, b]\) 都是完备的，因此它们都是 Banach 空间。

2. 典型空间的完备性证明

2.1 连续导数空间 \(C^k[a, b]\) 的完备性

\(C^k[a, b]\) 是由在区间 \([a, b]\) 上具有直到 \(k\) 阶连续导数的一切函数构成的集合。其范数定义为 \(\|x\| = \sum_{j=0}^{k} \max_{t \in [a, b]} |x^{(j)}(t)|\)。

证明：\(C^k[a, b]\) 是一个 Banach 空间

设 \(\{x_n\} \subset C^k[a, b]\) 是一基本点列。
于是对于任给的 \(\epsilon > 0\)，存在正整数 \(N > 0\)，使得当 \(m, n > N\) 时，\(||x_n - x_m|| < \epsilon\)。即：

\[ \sum_{j=0}^{k} \max_{t \in [a, b]} |x_n^{(j)}(t) - x_m^{(j)}(t)| < \epsilon \]

因此，对于每个 \((0 \le j \le k)\)，不等式：

\[ |x_n^{(j)}(t) - x_m^{(j)}(t)| < \epsilon \]

关于 \(t \in [a, b]\) 一致地成立。
由数学分析可知，\(\{x_n^{(j)}\}\) 一致收敛于某个连续函数 \(y_j(t)\)，而且 \(y_{j+1}(t)\) 也是 \(y_j(t)\) 的导数 \((0 \le j \le k-1)\)。
所以，\(y_0(t)\) 有直到 \(k\) 阶的连续导数且 \(y_j(t) = y_0^{(j)}(t)\)。
当 \(n > N\) 时：

\[ \sum_{j=0}^{k} \max_{t \in [a, b]} |x_n^{(j)}(t) - y_0^{(j)}(t)| \le \epsilon \]

于是 \(\{x_n\}\) 依 \(C^k[a, b]\) 中的范数收敛于 \(y_0(t)\)，故 \(C^k[a, b]\) 完备，因而是 Banach 空间。 \(\square\)

2.2 可积函数空间 \(L^p(F)\) 的完备性

证明：\(L^p(F)\) 是一个 Banach 空间

设 \(\{f_n\} \subset L^p(F)\) 是一基本点列，于是对于任给的 \(\epsilon > 0\)，存在正整数 \(m_k > 0\)，使得当 \(m, n > m_k\) 时：

\[ ||f_n - f_m||_p < \frac{1}{2^k}, \quad k = 1, 2, \dots \]

取 \(n_k \ge m_k\) 使得 \(n_1 < n_2 < \dots < n_k < \dots\)，则：

\[ ||f_{n_k} - f_{n_{k+1}}||_p < \frac{1}{2^k}, \quad k = 1, 2, \dots \]

因此：

\[ \sum_{k=1}^{\infty} ||f_{n_{k+1}} - f_{n_k}||_p \le \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k} < \infty \]

但是 \(1 \in L^q(F)\)，由 Hölder 不等式得到：

\[ \int_F |f_{n_{k+1}}(t) - f_{n_k}(t)| dt \le ||f_{n_{k+1}} - f_{n_k}||_p m(F)^{\frac{1}{q}} \]

从而级数：

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \int_F |f_{n_{k+1}}(t) - f_{n_k}(t)| dt \quad \text{收敛。} \]

由 Levi 定理，级数 \(\sum_{k=1}^{\infty} |f_{n_{k+1}}(t) - f_{n_k}(t)|\) 在 \(F\) 几乎处处收敛。
进而可知：

\[ f_{n_k}(t) = f_{n_1}(t) + \sum_{j=1}^{k-1} (f_{n_{j+1}}(t) - f_{n_j}(t)) \]

几乎处处收敛到一个可测函数 \(f(t)\)。接下来证明 \(f \in L^p(F)\) 且范数收敛：
因为 \(\{f_n\}\) 是 \(L^p(F)\) 中一个 Cauchy 列，对于任给的 \(\epsilon > 0\)，存在正整数 \(N > 0\)，使得当 \(m, n > N\) 时，\(||f_n - f_m||_p < \epsilon\)。
取足够大的 \(k_0\) 使得 \(n_{k_0} > N\)，则当 \(k \ge k_0, n \ge N\) 时，我们有：

\[ \int_F |f_n(t) - f_{n_k}(t)|^p dt = ||f_n - f_{n_k}||_p^p < \epsilon^p \]

当 \(k \rightarrow \infty\)，在 \(F\) 上函数列几乎处处（a.e.）满足：

\[ |f_n(t) - f_{n_k}(t)|^p \rightarrow |f_n(t) - f(t)|^p \]

由 Fatou 定理，我们知道 \(|f_n(t) - f(t)|^p\) 是可积的，且：

\[ \int_F |f_n(t) - f(t)|^p dt \le \liminf_{k \rightarrow \infty} \int_F |f_n(t) - f_{n_k}(t)|^p dt \le \epsilon^p \]

这说明 \(f - f_n \in L^p(F)\)，且当 \(n \ge N\) 时：

\[ ||f_n - f||_p \le \epsilon \]

因为 \(L^p(F)\) 是线性空间，\(f_n \in L^p(F)\)，则 \(f = (f - f_n) + f_n \in L^p(F)\)。
综上，\(f_n \rightarrow f\) 在 \(L^p(F)\) 成立，\(L^p(F)\) 是 Banach 空间。 \(\square\)

3. 存在不完备的赋范线性空间

并不是所有的赋范线性空间都是完备的。完备性不仅依赖于空间本身的元素，还依赖于赋予它的范数。

考虑空间 \(C[a, b] \subset L^2[a, b]\)，取 \(a < c < b\)。
定义阶梯函数 \(f_0 = \chi_{[a, c]} - \chi_{(c, b]}\)。
因为连续函数空间 \(C[a, b]\) 在 \(L^2[a, b]\) 中是稠密的，必定存在 \(C[a, b]\) 中的连续函数列 \(\{f_n\}\) 使得：

\[ ||f_n - f_0||_2 \rightarrow 0 \]
但是极限函数 \(f_0\) 在 \(c\) 点不连续，因此 \(f_0 \notin C[a, b]\)。所以 \(C[a, b]\) 按照 \(L^2\) 范数 \(|| \cdot ||_2\) 是不完备的。

4. 商空间 (Quotient Space)

4.1 等价类与商空间的定义

设 \(E\) 是一给定的线性空间，\(L\) 是 \(E\) 的子空间。我们可以在 \(E\) 上定义等价关系：\(x \sim y\)，若 \(x - y \in L\)。
这是一个等价关系，满足以下三条性质：
(i) 自反性：\(x \sim x\)；
(ii) 对称性：若 \(x \sim y\)，则 \(y \sim x\)；
(iii) 传递性：若 \(x \sim y\)，\(y \sim z\)，则 \(x \sim z\)。
由性质 (i)-(iii)，可以在 \(E\) 中定义等价类：对于 \(E\) 中的任意两个元素 \(x, y\)，若 \(x - y \in L\) 则将 \(x, y\) 归于同一等价类。用记号 \(\xi, \eta\) 等表示。
容易证明，\(E\) 中任意一个元素必属于且只属于某一个等价类，任何两个不同的等价类没有公共元素。于是空间 \(E\) 被划分成若干个等价类的并集。
对于给定的等价类 \(\xi\)，任取 \(x \in \xi\)，则集合：

\[ x + L := \{x + y \mid y \in L\} \]

就是 \(\xi\)。因此等价类又可用 \(x + L, y + L\) 等表示。

4.2 商空间中的线性运算

用 \(\hat{E}\)（或 \(E/L\)）表示 \(E\) 中所有等价类构成的集。现在在 \(\hat{E}\) 中定义线性运算：设 \(\xi, \eta \in \hat{E}\)，任取 \(x \in \xi\)，\(y \in \eta\)，我们规定：

\[ \xi + \eta := x + y + L \]

\[ \alpha \xi := \alpha x + L \]
需要证明这些运算是良定义的：即 \(x + y + L\) 和 \(x \in \xi, y \in \eta\) 的选择无关，数乘 \(\alpha x + L\) 与 \(x \in \xi\) 的选择无关。
证明：再任取 \(x' \in \xi, y' \in \eta\)，有：

\[ x' + y' + L = x + y + (x' - x) + (y' - y) + L = x + y + L \]
在 \(\hat{E}\) 中定义了线性运算后，可以证明按照这样的线性运算 \(\hat{E}\) 是一个线性空间，称它为 \(E\) 关于 \(L\) 的商空间，且易知它的零元素就是子空间 \(L\)。

4.3 实例：\(L^p(F)\) 是一个商空间

在 \(L^p(F)\) 中，我们规定任意两个几乎处处相等的函数为同一元素。
定义子集 \(\tilde{L} := \{g \mid g \text{ 在 } F \text{ 上几乎处处等于 } 0\}\)。
则 \(L^p(F)\) 中的元素实际上是形如 \(f + \tilde{L}\) 的等价类，其中 \(f\) 满足 \(\int_F |f(t)|^p dt < \infty\)。
因此，\(L^p(F)\) 实际上是由 \(F\) 上全部 \(p\) 次可积函数构成的线性空间关于子空间 \(\tilde{L}\) 的商空间。

5. 商空间与直和空间的赋范化

5.1 \(E/L\) 赋范线性空间

现设 \(E\) 是赋范线性空间，\(L\) 是 \(E\) 的子空间。\(L\) 按照 \(E\) 的范数显然是一个赋范线性空间。如果 \(L\) 是闭的，则称 \(L\) 是 \(E\) 的 闭子空间。
当 \(L\) 是 \(E\) 的闭子空间时，在商空间 \(E/L\) 中可以引进范数。对任一 \(\xi \in E/L\)，令：

\[ ||\xi|| = \inf_{x \in \xi} ||x|| \]

证明：这满足范数的全部条件

若 \(||\xi|| = 0\)，令 \(\xi = x_0 + L\)，其中 \(x_0 \in \xi\)。则：

\[ 0 = \inf_{x \in \xi} ||x|| = \inf_{y \in L} ||x_0 + y|| \]

对于任意的正整数 \(n\)，存在 \(y_n \in L\) 使得：

\[ ||x_0 + y_n|| < \frac{1}{n} \]

则 \(x_0 + y_n \rightarrow 0\)，即 \(y_n \rightarrow -x_0\)。因为 \(L\) 是闭集，所以极限定点 \(-x_0 \in L\)。这说明 \(x_0 \in L\)，即 \(\xi = L\)（商空间的零元）。
三角不等式的证明：

\[ ||\xi + \eta|| = \inf_{x \in \xi, y \in \eta} ||x + y|| \le ||x|| + ||y|| \le ||\xi|| + \epsilon + ||\eta|| + \epsilon \]

由于 \(\epsilon\) 的任意性，因此 \(E/L\) 按照此范数是一个赋范线性空间。 \(\square\)

进一步可以证明：当 \(E\) 是 Banach 空间，且 \(L\) 是 \(E\) 的闭子空间时，\(E/L\) 也是 Banach 空间。

5.2 直和空间的范数

设 \(L_1, \dots, L_n\) 是赋范线性空间，\(E\) 是 \(L_1, \dots, L_n\) 的直接和，即 \(E = L_1 \oplus \dots \oplus L_n\)。在 \(E\) 中定义范数如下：

\[ ||x|| = ||x_1|| + \dots + ||x_n|| \]
其中 \(x = (x_1, \dots, x_n) \in E\)，\(x_k \in L_k\) \((k=1, 2, \dots, n)\)。\(E\) 按照此范数是个赋范线性空间。
若 \(||x|| = ||x_1|| + \dots + ||x_n|| = 0\)，则必然有 \(||x_1|| = \dots = ||x_n|| = 0\)，即每个 \(x_k\) 都是 \(L_k\) 的零元。
在 \(E\) 中还可以定义其他的等价范数：

\[ ||x|| = \max \{||x_1||, \dots, ||x_n||\} \]
或者 2-范数：

\[ ||x|| = \sqrt{||x_1||^2 + \dots + ||x_n||^2} \]
它们均为 \(E\) 上的范数，因此 \(E\) 按照这些范数也是赋范线性空间。
若各个子空间 \(L_1, \dots, L_n\) 都是 Banach 空间，\(E\) 按照这些等价范数也必定是 Banach 空间。

6. 本章总结

线性空间：线性空间中的线性运算属于代数领域，在线性空间中既无距离也无范数，因而没有收敛，也无开集、闭集、稠密性、可分性等等。
赋范线性空间：在某些线性空间中可以引进范数，使之成为赋范线性空间。当我们在线性空间中引进距离时，应当要求线性运算关于所引进的距离是连续的。
拓扑线性空间：在某些线性空间中可以引进一般拓扑，得到拓扑线性空间。应当要求线性运算关于所引进的拓扑是连续的。