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第八章：正交分解与 Hilbert 空间理论

本章将深入研究 Hilbert 空间的核心拓扑性质，重点讨论正交分解定理、规范正交系、Fourier 展开以及可分 Hilbert 空间与 \(l^2\) 空间的等距同构关系。

1. 正交分解定理

定理 8.1 (正交分解定理)

设 \(M\) 是 Hilbert 空间 \(H\) 中的闭子空间，则 \(H\) 中的任一元素 \(x\)，有下列唯一的正交分解：

\[ x = y + z, \quad y \in M, \quad z \in M^\perp \]

\(y\) 称为 \(x\) 在 \(M\) 中的正交投影。

证明：正交分解的存在性与唯一性

1. 存在性： 由假设 \(M\) 是 \(H\) 的闭子空间，故为凸闭集。 由上一章定理，\(x\) 在 \(M\) 中存在唯一的最佳逼近元 \(y\)。记 \(\|x - y\| = \alpha\)。

  • 对于实的 Hilbert 空间：由于 \(y \in M\)，于是对任一实数 \(\lambda\) 以及任一元素 \(u \in M\)，有 \(y + \lambda u \in M\)。

  • 因此，函数 \(\|-x + y + \lambda u\|^2\) 在 \(\lambda = 0\) 时取到极小值。

  • 对 \(\lambda\) 求导：

\[ 0 = \frac{d}{d\lambda} \| -x + y + \lambda u \|^2 \Big|_{\lambda=0} \]
\[ = \frac{d}{d\lambda} \left[ \|y - x\|^2 + \lambda(y - x, u) + \lambda(u, y - x) + \lambda^2\|u\|^2 \right] \Big|_{\lambda=0} \]
\[ = (y - x, u) + (u, y - x) = 2(y - x, u) \]

  • 由于 \(u\) 是 \(M\) 中任一元素，故 \(z = x - y \perp M\)。便有 \(x = y + z\)，\(y \in M\)，\(z \in M^\perp\)。

  • 对于复的 Hilbert 空间：取 \(\lambda = -\frac{(y - x, u)}{\|u\|^2}\)，并注意到 \(\|x - y\| = \alpha\) 得到：

\[ \alpha^2 \le \|-x + y + \lambda u\|^2 \]
\[ = \|y - x\|^2 + \overline{\lambda}(y - x, u) + \lambda(u, y - x) + |\lambda|^2\|u\|^2 \]
\[ = \|y - x\|^2 + \lambda(u, y - x) + \overline{\lambda}[(y - x, u) + \lambda\|u\|^2] \]
  • 将 \(\lambda\) 代入化简得到：
\[ \alpha^2 \le \alpha^2 - \frac{|(y - x, u)|^2}{\|u\|^2} \]
  • 于是必然有 \((y - x, u) = 0\)。 从而 \(z = x - y \in M^\perp\)。

2. 唯一性：

  • 设另有分解 \(x = y' + z'\)，其中 \(y' \in M\)，\(z' \in M^\perp\)。

  • 由 \(y + z = y' + z'\)，可得 \(y - y' = z' - z\)。

  • 由于 \(y - y' \in M\)，\(z' - z \in M^\perp\)，且 \(M \cap M^\perp = \{\theta\}\)（若 \(x \in M \cap M^\perp\)，则 \((x, x) = 0\) 从而 \(x = \theta\)），

  • 故 \(y - y' = z' - z = \theta\)。因此 \(y = y'\)，\(z = z'\)。正交分解唯一。 \(\square\)

2. 规范正交系与傅里叶系数

定义 8.1 (规范正交系)

设 \(\{e_n\}\) 为内积空间中的元素系，满足：

\[ (e_n, e_m) = \begin{cases} 0, & n \neq m \\ 1, & n = m \end{cases} \]

则称 \(\{e_n\}\) 是 \(H\) 中的一个规范正交系。

对任一元素 \(x \in H\)，称 \(c_n = (x, e_n)\) 为 \(x\) 关于 \(\{e_n\}\) 的第 \(n\) 个傅里叶 (Fourier) 系数，简称为 Fourier 系数，而 \(\{(x, e_n)\}\) 为 \(x\) 的 Fourier 系数集。

2.1 在有限维子空间上的正交投影

推论

设 \(n\) 是给定的自然数，\(\{e_1, \dots, e_n\}\) 是内积空间中的一个规范正交系，\(M\) 是 \(\{e_1, \dots, e_n\}\) 张成的子空间，则对任给的 \(x \in H\)，\(x\) 在 \(M\) 上的正交投影为：

\[ y = \sum_{k=1}^n (x, e_k)e_k \]
证明

  • 由正交分解定理，\(H\) 中的任一元素 \(x\) 有唯一的正交分解 \(x = y + z\)，\(y \in M\)，\(z \in M^\perp\)。

  • 则有：

\[ y = \sum_{k=1}^n (y, e_k)e_k = \sum_{k=1}^n (x, e_k)e_k - \sum_{k=1}^n (z, e_k)e_k = \sum_{k=1}^n (x, e_k)e_k \]
  • （因为 \(z \in M^\perp\)，所以 \((z, e_k) = 0\)） \(\square\)

2.2 典型规范正交系实例

  • 空间 \(L^2[0, 2\pi]\)：函数系 \(\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{int} \}\) (\(n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots\)) 是一个规范正交系。

    • 证明：当 \(n \neq m\) 时：
    \[ \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{int}, \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{imt} \right) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{i(n-m)t} dt = \frac{1}{2\pi i(n-m)} e^{i(n-m)t} \Big|_0^{2\pi} = 0 \]

  • 空间 \(l^2\)：元素系 \(e_n = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots)\) （第 \(n\) 个位置为1）是 \(l^2\) 的一个规范正交系。

  • 空间 \(L^2([-1,1]; \frac{1}{\sqrt{1-t^2}})\) 与切比雪夫 (Chebyshev) 多项式：考察函数系 \(T_n(t) = \cos(n \arccos t)\)，其中 \(t \in [-1,1]\)。

    • 在恒等式 \(\cos n\theta + \cos(n-2)\theta = 2 \cos \theta \cos(n-1)\theta\) 中令 \(\theta = \arccos t\)，得到递推公式 \(T_n(t) = 2t T_{n-1}(t) - T_{n-2}(t)\)。

    • 由 \(T_0(t)=1, T_1(t)=t\) 以及递推公式有 \(T_2(t)=2t^2-1, T_3(t)=4t^3-3t\)。用数学归纳法可证 \(T_n(t)\) 确为 \(n\) 次多项式（第一类 Chebyshev 多项式）。

    • 注意到 \(t = \cos \theta\)。当 \(n \neq m\) 时：

    \[ \int_{-1}^1 \frac{T_n(t)T_m(t)}{\sqrt{1-t^2}} dt = \int_0^\pi \cos n\theta \cdot \cos m\theta \, d\theta = 0 \]
    • 当 \(n = m\) 时：
    \[ \int_{-1}^1 \frac{T_n(t)^2}{\sqrt{1-t^2}} dt = \int_0^\pi \cos^2 n\theta \, d\theta = \begin{cases} \frac{\pi}{2}, & n \neq 0 \\ \pi, & n = 0 \end{cases} \]
    • 从而可以归一化构造出规范正交系 \(\tilde{T}_n(t)\)，当 \(n \ge 1\) 时系数为 \(\sqrt{\frac{2}{\pi}}\)，当 \(n=0\) 时系数为 \(\sqrt{\frac{1}{\pi}}\)。

3. Bessel 不等式与 Riesz-Fischer 定理

定理 8.2 (Bessel 不等式)

设 \(\{e_n\}\) 是内积空间中的一个规范正交系，则对任意的 \(x \in H\)，下式成立：

\[ \sum_{k=1}^\infty |(x, e_k)|^2 \le \|x\|^2 \]
证明

  • 任取 \(x \in H\)，由前面的推论知对任给的自然数 \(n\)，\(y = \sum_{k=1}^n (x, e_k)e_k\) 是 \(x\) 在 \(\{e_1, \dots, e_n\}\) 张成的子空间上的正交投影。

  • 于是 \(x = y + z\)，其中 \(y \perp z\)。由此立即可知 \(\|y\| \le \|x\|\)，即：

\[ \sum_{k=1}^n |(x, e_k)|^2 \le \|x\|^2 \]
  • 令 \(n \to \infty\)，得到 Bessel 不等式。 \(\square\)

由 Bessel 不等式可知，任一元素关于规范正交系的 Fourier 系数组成的序列必属于 \(l^2\)。 反之有如下定理：

定理 8.3 (Riesz-Fischer 定理)

设 \(\{e_n\}\) 是 Hilbert 空间中的一个规范正交系，数列 \(\{c_n\} \in l^2\)。那么存在 \(H\) 中的元素 \(x\)，使得 \(\{c_n\}\) 是这个元素关于 \(\{e_n\}\) 的 Fourier 系数集，并且下述 帕塞瓦尔 (Parseval) 公式 成立：

\[ \sum_{k=1}^\infty |(x, e_k)|^2 = \|x\|^2 \]
证明
  • 令 \(x_n = \sum_{k=1}^n c_k e_k\)。设自然数 \(m, n\) 满足 \(m > n\)。
\[ \|x_m - x_n\|^2 = \left\| \sum_{k=n+1}^m c_k e_k \right\|^2 = \sum_{k=n+1}^m |c_k|^2 \]

  • 由于 \(\{c_n\} \in l^2\)，当 \(m, n \to \infty\) 时，尾部级数 \(\sum_{k=n+1}^m |c_k|^2 \to 0\)。

  • 故 \(\|x_m - x_n\| \to 0\)。因此 \(\{x_n\}\) 是 \(H\) 中的基本点列。

  • 由于 \(H\) 完备，存在元素 \(x \in H\) 使得 \(x_n \to x\)。由内积的连续性，对任给的自然数 \(k_0\)，有：

\[ (x_n, e_{k_0}) \to (x, e_{k_0}) \]

  • 另一方面，当 \(n \ge k_0\) 时，\((x_n, e_{k_0}) = \left(\sum_{k=1}^n c_k e_k, e_{k_0}\right) = c_{k_0}\)。

  • 于是 \((x, e_{k_0}) = c_{k_0}\)。由于 \(k_0\) 是任意给定的，因此 \(\{c_n\}\) 就是元素 \(x\) 的 Fourier 系数集。

  • 再令：

\[ \sum_{k=1}^n |(x, e_k)|^2 = \|x_n\|^2 \]
  • 其中 \(n \to \infty\) 时，Parseval 等式成立。 \(\square\)

4. 规范正交系的完备性与完全性

Parseval 等式未必总是对所有元素成立，因为 \(\{e_n\}\) 中的元素可能“不足够多”。如果元素“足够多”，Parseval 等式就有可能对一切元素成立。

定义 8.2 (完备的与完全的)

  • 完备的 (Complete)：如果对每个 \(x \in H\)，Parseval 等式 \(\sum_{k=1}^\infty |(x, e_k)|^2 = \|x\|^2\) 恒成立，则称 \(\{e_n\}\) 是完备的。

  • 完全的 (Total)：如果对每个 \(x \in H\)，由 \((x, e_k) = 0\) \((k=1,2,\dots)\) 可以导出 \(x = \theta\)，则称 \(\{e_n\}\) 是完全的。

定理 8.4

设 \(\{e_n\}\) 是 Hilbert 空间中的一个规范正交系，则下列性质等价：

  • (i) \(\{e_n\}\) 是完备的；

  • (ii) 对 \(H\) 中任一元素 \(x\)，级数依范数收敛于 \(x\)，即 \(x = \sum_{k=1}^\infty (x, e_k)e_k\)；

  • (iii) 对 \(H\) 中任意两个元素 \(x, y\)，有广义 Parseval 等式：\((x, y) = \sum_{k=1}^\infty (x, e_k)\overline{(y, e_k)}\)，且右端绝对收敛；

  • (iv) \(\{e_n\}\) 是完全的。

证明：四大性质的等价性
  • (i) \(\implies\) (ii)：
\[ \left\|x - \sum_{k=1}^n (x, e_k)e_k\right\|^2 = \|x\|^2 - \sum_{k=1}^n |(x, e_k)|^2 \]
  • 由完备性假设即 Parseval 等式，取极限得：
\[ \lim_{n \to \infty} \left\|x - \sum_{k=1}^n (x, e_k)e_k\right\|^2 = 0 \]

  • (ii) \(\implies\) (iii)：对任意两个元素 \(x, y\)，令 \(x_n = \sum_{k=1}^n (x, e_k)e_k\) 和 \(y_n = \sum_{k=1}^n (y, e_k)e_k\)。

  • 注意到 \(\{e_n\}\) 的正交性，我们有：

\[ (x_n, y_n) = \sum_{k=1}^n (x, e_k)\overline{(y, e_k)} \]
  • 由 (ii) 知 \(x_n \to x, y_n \to y\)。再由内积的连续性：
\[ (x, y) = \lim_{n \to \infty} (x_n, y_n) = \sum_{k=1}^\infty (x, e_k)\overline{(y, e_k)} \]

  • 由 Bessel 不等式可知，Fourier 系数构成的序列属于 \(l^2\)，故上式右端的级数绝对收敛。

  • (iii) \(\implies\) (iv)：设 \(x \in H\) 满足 \((x, e_k) = 0\) \((k=1,2,\dots)\)。由 (iii) 可得对任意的 \(y \in H\)，有 \((x, y) = 0\)。

  • 取 \(y = x\)，得 \((x, x) = 0\)。所以 \(x = \theta\)。

  • (iv) \(\implies\) (i)：由 Bessel 不等式可知 \(\{(x, e_k)\} \in l^2\)。由 Riesz-Fischer 定理知存在 \(y\)，使得 \(\{(x, e_k)\}\) 为 \(y\) 的 Fourier 系数集，且 \(\sum |(x, e_k)|^2 = \|y\|^2\)。

  • 注意到 \(\{(x, e_k)\}\) 也是 \(x\) 的 Fourier 系数，故 \((x-y, e_k) = 0\)。由 (iv) 的完全性假设，导出 \(x - y = \theta\)，即 \(x=y\)。

  • 因此 (i) 的 Parseval 等式成立：\(\sum_{k=1}^\infty |(x, e_k)|^2 = \|x\|^2\)。 \(\square\)

  • 推论 1：定理中使 Parseval 等式成立的元素是唯一的。

    • （证明略述：若有 \(x, x'\) 均满足，通过 (ii) 的级数展开可知 \(x = x'\)）。

  • 推论 2：设内积空间中存在完备的规范正交系，则该空间是可分的。

    • （证明略述：由于完备，正交系张成的子空间稠密。以有理数为系数的线性组合构成可列集且稠密，故可分）。

  • 推论 3：证明规范正交系完备的等价条件是：\(\{e_k\}\) 所产生的闭子空间是整个空间。

    • （证明略述：利用正交投影是有限维空间最佳逼近元的性质放缩证明距离趋于 0）。

5. 施密特正交化定理与空间同构

定理 8.5 (Gram-Schmidt 正交化定理)

设 \(\{x_n\}\) 是内积空间中的一个可列子集，则由 \(\{x_n\}\) 必可作一个规范正交系 \(\{e_n\}\)，使其张成的子空间与 \(\{x_n\}\) 张成的子空间相同。

证明：正交化构造过程

  • 不妨设 \(x_1\) 是第一个不等于零的元素，令 \(e_1 = \frac{x_1}{\|x_1\|}\)，则 \(\|e_1\| = 1\)。

  • 设 \(x_2\) 是第一个与 \(e_1\) 线性无关的元素，令 \(h_2 = x_2 - (x_2, e_1)e_1\)。

  • 则 \(h_2 \neq 0\)（否则线性相关），且易证 \(h_2 \perp e_1\)。令 \(e_2 = \frac{h_2}{\|h_2\|}\)。

  • 假设已作好了相互正交且范数均为 1 的元素 \(e_1, \dots, e_{k-1}\)。设 \(x_k\) 是第一个与它们线性无关的元素，令：

\[ h_k = x_k - \sum_{j=1}^{k-1} (x_k, e_j)e_j \]

  • 则 \(h_k \neq 0\) 且 \(h_k \perp e_j\)。再令 \(e_k = \frac{h_k}{\|h_k\|}\)。

  • 由归纳法，得到最多可列个元素的规范正交系。

  • 由构造过程，每个 \(e_k\) 可由 \(x_1, \dots, x_k\) 线性表示，反之每个 \(x_k\) 亦可由 \(e_1, \dots, e_k\) 线性表示。故两者张成的子空间完全相同。 \(\square\)

由上述正交化定理，可以直接得到一个重要结论：任何可分内积空间必存在完备的规范正交系。 ### 5.1 \(L^2(\mathbb{R}; e^{-t^2})\) 与埃尔米特 (Hermite) 多项式

  • 函数族 \(\{1, t, t^2, \dots\}\) 属于加权空间 \(L^2(\mathbb{R}; e^{-t^2})\)。记权函数 \(\omega(t) = e^{-t^2}\)。

    • 对 \(\omega(t)\) 求高阶导数，由归纳法可证 \(\omega^{(n)}(t) = y_n(t)e^{-t^2}\)，其中 \(y_n(t)\) 是最高次项系数为 \((-2)^n\) 的 \(n\) 次多项式。

    • 对任一次数小于 \(n\) 的多项式 \(u(t)\)，多次分部积分可得：

    \[ \int_{-\infty}^{+\infty} y_n(t)e^{-t^2} u(t) dt = \int_{-\infty}^{+\infty} \omega^{(n)}(t)u(t) dt = \dots = (-1)^n \int_{-\infty}^{+\infty} \omega(t)u^{(n)}(t) dt = 0 \]

    • 这表明 \(y_n(t)\) 与所有低次多项式正交，即它就是 \(\{1, t, t^2, \dots\}\) 正交化后的产物。

    • 归一化：计算范数得 \(\|y_n\|^2 = 2^n n! \sqrt{\pi}\)。

    • 令 \(H_n(t) = \frac{y_n(t)}{\|y_n\|}\)，即得到著名的 Hermite 多项式 规范正交系。 它可以表示为：

    \[ H_n(t) = \frac{1}{(2^n n! \sqrt{\pi})^{\frac{1}{2}}} e^{t^2} \frac{d^n}{dt^n}(e^{-t^2}) \]
    • 由于多项式系稠密，这构成一个完备的规范正交系。

5.2 空间的等距同构

定理 8.6

每一个实（或复）可分 Hilbert 空间必与实（或复）\(l^2\) 空间等距同构。 从而所有可分 Hilbert 空间彼此必然等距同构。

证明：同构映射的构造

  • 设 \(H\) 为可分 Hilbert 空间，\(\{e_n\}\) 是完备规范正交系。定义映射 \(T: H \to l^2\) 为 \(Tx = \{c_n\}\)，其中 \(\{c_n\}\) 为 \(x\) 的 Fourier 系数集。

  • 线性性：\(T(\alpha x + \beta y) = \{\alpha c_n + \beta c_n'\} = \alpha Tx + \beta Ty\)。

  • 等距性：由 Parseval 等式，\(\|x\|^2 = \sum |c_n|^2 = \|Tx\|^2\)，所以 \(T\) 是等距同态映射。

  • 单射性：若 \(Tx = \{0,0,\dots\}\)，由完全性推导 \(x = \theta\)。

  • 满射性：对任意 \(\{c_n\} \in l^2\)，由 Riesz-Fischer 定理存在相应的 \(x \in H\)，故 \(T\) 是满射。 \(\square\)

由于无穷维空间的性质与有限维截然不同，例如在 \(l^2\) 中，有界闭球不能被有限个小开球覆盖（无穷维空间中的单位闭球不是紧致的）。

6. 本章总结

  • 内积可以导出范数，从而保留欧氏空间及赋范空间的几何与拓扑性质。内积定义了正交性，这是泛函分析中极其重要的结构特征。

  • 正交分解定理保证了元素可以在任何闭子空间中找到唯一的投影，这是获得规范正交系存在性及相关重要结论的基石。

  • “完备性”与“完全性”在可分 Hilbert 空间中是等价的；Bessel 不等式无条件成立，而 Parseval 等式仅当规范正交系完备时才对所有元素成立。

  • 核心结论：可分 Hilbert 空间中存在完备规范正交系，所有可分 Hilbert 空间彼此等距同构，这是 Hilbert 空间理论中最美的基本事实之一。

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