第十章：极大似然估计（二）

在上一章中，我们探讨了极大似然估计 (MLE) 的相合性与渐近正态性。本章我们将从著名的 Wilks 定理出发，深入研究似然比检验的渐近性质。接着，我们会讨论如何利用 Bartlett 修正来提高似然比检验的精度，并引入参数不可识别时的反例。最后，我们将跨越参数模型的限制，介绍现代非参数统计的核心工具——经验似然 (Empirical Likelihood)，并展示其优美的数学结构与 Wilks 定理的非参数版本。

1. 似然比的 Wilks 定理 (Wilks' Theorem)

考虑复合假设检验问题 \(H_0: \theta \in \Theta_0\) VS \(H_1: \theta \in \Theta_1\)，我们需要明确原假设空间 \(\Theta_0\) 的数学结构。

1.1 \(\Theta_0\) 的结构设定 (Condition S1)

假设存在一个具有内点的集合 \(A \subset \mathbb{R}^r\)（即 \(r\) 维集合），以及定义在 \(\mathbb{R}^r\) 上的 \(p\) 个函数 \(g_i\)，使得 \(\theta_i = g_i(\phi_1, ..., \phi_r)\) 对 \(i=1,...,p\) 成立。这为 \(\Theta_0\) 和 \(A\) 之间建立了 \(1-1\) 的对应关系。并且每个 \(g_i\) 在 \(A\) 的任何内点处都是二次连续可导的。在 \(H_0\) 下的真实参数 \(\theta_0 \in \Theta_0\) 对应于 \(A\) 中的一个内点 \(\phi_0 \in A\)。

这一条件意味着，原假设下的分布族可以等价地参数化为：

\[ \{ \tilde{f}(x, \phi) = f(x, g_1(\phi_1, ..., \phi_r), ..., g_p(\phi_1, ..., \phi_r)) : \phi = (\phi_1, ..., \phi_r) \in A \} \]

等价表述： \(\Theta_0\) 也可以由 \(p-r\) 个约束条件等价定义：

\[ R_i(\theta) = 0, \quad 1 \le i \le p-r \]

简单假设的例子：对于 \(H_0: \theta = \theta_0\)，有 \(\Theta_0 = \{\theta_0\}\)，约束函数可取为 \(R_i(\theta) = \theta_i - \theta_{i0}\) (\(1 \le i \le p\))。
复合假设的例子：若 \(p=3\) 且 \(H_0: \theta_1 = \theta_{10}\)（只限制了第一个参数），则约束条件为 \(R_1(\theta) = \theta_1 - \theta_{10}\)。

1.2 Wilks 定理与三大检验统计量

令 \(\hat{\theta}_n\) 为全局极大似然估计，\(\hat{\phi}_n\) 为在族 \(\{f(x, \phi), \phi \in A\}\) 下的受限 MLE，且对应的受限参数估计为 \(\tilde{\theta}_n = g(\hat{\phi}_n)\)。

定义对数似然比为：

\[ LR_n = -2 \log \frac{L_n(\tilde{\theta}_n)}{L_n(\hat{\theta}_n)} \]

定理 9.1 (Wilks 定理, Wilks 1938)

在条件 S1 以及全局 MLE 渐近正态性的正则条件下，原假设 \(H_0\) 成立时有：

\[ LR_n \xrightarrow{d} \chi^2_{p-r} \]

在原假设下，以下三大检验统计量是渐近等价的：

似然比统计量 (LR statistic): \(LR_n\)
Wald 检验统计量 (基于 Delta 方法):

\[ \mathcal{W}_n = R(\hat{\theta}_n)^T \left( \frac{\partial}{\partial \theta} R(\hat{\theta}_n) \left( -\frac{\partial^2 \log L_n(\hat{\theta}_n)}{\partial \theta \partial \theta^T} \right)^{-1} \frac{\partial}{\partial \theta} R(\hat{\theta}_n)^T \right)^{-1} R(\hat{\theta}_n) \]
Rao 得分检验统计量 (Lagrangian 乘子法):

\[ R_n = \frac{\partial \log L_n(\tilde{\theta}_n)}{\partial \theta^T} \left( -\frac{\partial^2 \log L_n(\tilde{\theta}_n)}{\partial \theta \partial \theta^T} \right)^{-1} \frac{\partial \log L_n(\tilde{\theta}_n)}{\partial \theta} \]

Wilks 定理的证明概要（点击展开）

在 \(H_0\) 下，通过对数似然函数的二阶泰勒展开，可以得到：

\[ 2(\log L_n(\hat{\theta}_n) - \log L_n(\theta_0)) = \frac{1}{n} \left(\frac{\partial \log L_n(\theta_0)}{\partial \theta}\right)^T I_1(\theta_0)^{-1} \left(\frac{\partial \log L_n(\theta_0)}{\partial \theta}\right) + o_p(1) \]

类似地，使用 \(H_0\) 下的参数化 \(\phi\)，受限对数似然的展开为：

\[ 2(\log L_n(g(\hat{\phi}_n)) - \log L_n(g(\phi_0))) = \frac{1}{n} \left(\frac{\partial \log L_n(g(\phi_0))}{\partial \phi}\right)^T \tilde{I}_1(\phi_0)^{-1} \left(\frac{\partial \log L_n(g(\phi_0))}{\partial \phi}\right) + o_p(1) \]

根据链式法则：

\[ \frac{\partial \log L_n(g(\phi_0))}{\partial \phi} = \frac{\partial g(\phi_0)^T}{\partial \phi} \frac{\partial \log L_n(\theta_0)}{\partial \theta} \]

结合上述结果，似然比统计量 \(LR_n\) 可以写为：

\[ LR_n = \frac{1}{n} \left( \frac{\partial \log L_n(\theta_0)}{\partial \theta} \right)^T \left( I_1(\theta_0)^{-1} - \frac{\partial g(\phi_0)}{\partial \phi^T} \tilde{I}_1(\phi_0)^{-1} \frac{\partial g(\phi_0)^T}{\partial \phi} \right) \left( \frac{\partial \log L_n(\theta_0)}{\partial \theta} \right) + o_p(1) \]

由中心极限定理 (CLT) 可知，得分函数服从：

\[ \frac{1}{\sqrt{n}} I_1(\theta_0)^{-1/2} \frac{\partial \log L_n(\theta_0)}{\partial \theta} \xrightarrow{d} Z \sim N(0, I_{p \times p}) \]

记 \(A = I_1(\theta_0)\)，\(C = \tilde{I}_1(\phi_0)\)，\(D = \frac{\partial g(\phi_0)^T}{\partial \phi}\)，以及 \(B = A^{-1} - D^T C^{-1} D\)。可以验证 \(C = D A D^T\)。因此 \(LR_n \Rightarrow Z^T A^{1/2} B A^{1/2} Z\)。

我们需要证明矩阵 \(A^{1/2} B A^{1/2}\) 是幂等矩阵 (Idempotent)：

\[ (A^{1/2} B A^{1/2})^2 = A^{1/2} B A B A^{1/2} \]

\[ = A^{1/2} (A^{-1} - D^T C^{-1} D) A (A^{-1} - D^T C^{-1} D) A^{1/2} \]

\[ = (I_p - A^{1/2} D^T C^{-1} D A^{1/2})(I_p - A^{1/2} D^T C^{-1} D A^{1/2}) \]

\[ = I_p - 2 A^{1/2} D^T C^{-1} D A^{1/2} + A^{1/2} D^T C^{-1} D A D^T C^{-1} D A^{1/2} \]

由于 \(D A D^T = C\)，最后一项化简为 \(A^{1/2} D^T C^{-1} C C^{-1} D A^{1/2} = A^{1/2} D^T C^{-1} D A^{1/2}\)。代回得到：

\[ = I_p - A^{1/2} D^T C^{-1} D A^{1/2} = A^{1/2} B A^{1/2} \]

由于该矩阵是幂等的，其二次型服从卡方分布，自由度等于其迹 (Trace)，即 \(Tr(A^{1/2} B A^{1/2}) = p - r\)。因此 \(LR_n \xrightarrow{d} \chi^2_{p-r}\)。

2. 讨厌参数、置信区域与反例

2.1 讨厌参数情形 (Nuisance Parameter Case)

假设 \(\theta = (\beta, \gamma)\)，其中 \(\beta\) 是我们感兴趣的参数，而 \(\gamma\) 是讨厌参数 (nuisance parameter)。测试 \(H_0: \beta = \beta_0\) VS \(H_1: \beta \ne \beta_0\)。

似然比统计量为：

\[ LR_n(\beta_0) = 2 \{ l_n(\hat{\beta}_n, \hat{\gamma}_n) - l_n(\beta_0, \tilde{\gamma}_n) \} \]

其中 \(\hat{\theta}_n = (\hat{\beta}_n, \hat{\gamma}_n)\) 是无约束的全局 MLE，而 \(\tilde{\gamma}_n = \arg\sup_{\gamma} l_n(\beta_0, \gamma)\) 是受限 MLE。假设参数空间满足 \(\Theta = \Theta_\beta \oplus \Theta_\gamma\)，且 \(dim(\Theta_\gamma) = r\)。根据 Wilks 定理，有：

\[ LR_n(\beta_0) \xrightarrow{d} \chi^2_{p-r} \]

假设检验的“局部线性” (local linearity) 结构对于卡方逼近是至关重要的。

2.2 似然比置信区域

利用似然比统计量，我们可以构建 \(\beta\) 的 \((1-\alpha)\) 级别的置信区域：

\[ I_{1-\alpha}(\beta) = \{ \beta | LR_n(\beta) \le \chi^2_{p-r, 1-\alpha} \} \]

这种置信区域具有自然的形状和方向，完全由数据和模型自动决定，无需主观人为选择边界（这与使用 Wald 检验构造的对称椭球不同）。虽然“画出”这个置信区域可能需要计算或图形工具，但现代计算能力已让其变得十分普及。

2.3 Wilks 定理失效的反例

Wilks 定理依赖于严格的正则性条件。如果不满足，会出现异常行为。

反例：设 \(X_1, \dots, X_n \stackrel{i.i.d}{\sim} \text{Uniform}(0, \theta)\)，\(\theta > 0\)。这里，密度函数的支撑集边界依赖于参数 \(\theta\)（违反了定理的基本正则性条件）。

欲检验 \(H_0: \theta = \theta_0\) VS \(H_1: \theta \ne \theta_0\)。无约束的 MLE 为最大次序统计量 \(\hat{\theta}_n = X_{(n)}\)。似然比统计量为：

\[ LR_n = -2 \log \frac{\theta_0^{-n}}{X_{(n)}^{-n}} = -2n \log \frac{X_{(n)}}{\theta_0} \]

可以证明，此时 \(LR_n\) 的渐近分布是 \(\chi^2_2\) 的某种变形或指数分布相关，而非标准的 \(\chi^2_1\)。

3. 似然比的 Bartlett 修正 (Bartlett Correction)

Bartlett (1937) 发现了一种可以提升似然比检验渐近分布逼近精度的修正方法。

在 \(H_0\) 下，\(LR_n \rightarrow \chi^2_{p-r}\)。假设 \(LR_n\) 的均值存在如下渐近展开：

\[ E(LR_n) = (p-r) + \frac{b_1}{n} + o(n^{-1}) = (p-r)\left\{ 1 + \frac{b}{n} + o(n^{-1}) \right\} \]

这里 \(b\) 或 \((1 + b/n)\) 被称为 Bartlett 因子。设 \(\hat{b}_n\) 是 \(b\) 的相合估计量（\(\hat{b}_n \rightarrow b\)），通过 Slutsky 定理，修正后的统计量：

\[ LR_{n, bc} := \frac{LR_n}{1 + b/n} \xrightarrow{d} \chi^2_{p-r} \]

\[ \hat{LR}_{n, bc} := \frac{LR_n}{1 + \hat{b}/n} \xrightarrow{d} \chi^2_{p-r} \]

Bartlett 猜想与 Edgeworth 展开： Wilks 定理仅仅保证了 \(P(LR_n \le x) = P(\chi^2_{p-r} \le x) + o(1)\)。如果假设数据尾部具有足够的平滑性且满足更多矩条件 (Cramér 条件)，通过 Edgeworth 展开可以证明（Barndorff-Nielsen and Cox, 1984）：

\[ P(LR_n(\theta_0) \le x) = P(\chi^2_{p-r} \le x) - \beta x g_p(x) n^{-1} + O(n^{-2}) \]

其中 \(g_p\) 是 \(\chi^2_{p-r}\) 的概率密度函数。而经过 Bartlett 修正后，收敛速度大幅提高：

\[ P\left(\frac{LR_n}{1 + \beta n^{-1}} \le x\right) = P(\chi^2_{p-r} \le x) + O(n^{-2}) \]

\[ P\left(\frac{LR_n}{1 + \hat{\beta} n^{-1}} \le x\right) = P(\chi^2_{p-r} \le x) + O(n^{-3/2}) \]

Bartlett 修正的意义：利用修正后的统计量构造置信区域 \(I_{\alpha, bc}\)，其覆盖误差 (coverage error) \(P(\theta \in I_{\alpha, bc}) - (1-\alpha) = O(n^{-3/2})\)，比未修正的 \(O(n^{-1})\) 具有更小的高阶误差。它为似然比检验提供了极为精确的近似显著性水平。

4. 从参数到非参数：经验似然 (Empirical Likelihood)

在标准参数 MLE 中，我们假设数据来自某个已知分布族 \(F_\theta\)。然而，如果模型错误设定 (mis-specified)，MLE 可能会严重有偏且不相合。

问题：能否不假设具体的参数分布族来构造似然函数？直觉：让数据“为自己发声”。经验累积分布函数 (ECDF)：

\[ F_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n I(X_i \le x) \]

是真实 CDF \(F(x)\) 的一个自然的、相合的非参数估计。能否定义一个使得 \(F_n\) 达到最大化的似然函数？

定义 9.1 (分布的非参数似然 Nonparametric Likelihood)

设 \(X_1, ..., X_n\) 为来自完全未知分布 \(F\) 的 i.i.d. 样本。给定数据，分布 \(F\) 的非参数似然定义为：

\[ L(F) = \prod_{i=1}^n dF(X_i) \]

其中 \(dF(X_i) = P_F(X = X_i)\) 是分布 \(F\) 赋予观测点 \(X_i\) 的概率质量。

为了最大化 \(L(F)\)，分布 \(F\) 必须将其所有的概率质量严格放置在已观测到的数据点上。令 \(p_i = dF(X_i)\)。我们需要满足 \(p_i \ge 0\) 且 \(\sum_{i=1}^n p_i = 1\)。似然函数简化为 \(L(p) = \prod_{i=1}^n p_i\)。

定理 9.2 (ECDF 最大化非参数似然)

经验分布 \(F_n(x)\) 在所有可能的分布中最大化了非参数似然 \(L(F)\)。

证明：利用算术-几何均值不等式 (AM-GM Inequality)

我们要在约束 \(p_i \ge 0\) 且 \(\sum_{i=1}^n p_i = 1\) 下最大化 \(\prod_{i=1}^n p_i\)。根据 AM-GM 不等式：

\[ \left( \prod_{i=1}^n p_i \right)^{1/n} \le \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n p_i = \frac{1}{n} \]

当且仅当 \(p_1 = p_2 = \dots = p_n = \frac{1}{n}\) 时，等号成立。这意味着在没有任何约束下，非参数似然在赋予每个观测点 \(1/n\) 的质量时达到最大，这正好恢复了经验分布 \(F_n\)。此时最大似然值为 \((1/n)^n\)。

定义 9.2 (经验似然比 Empirical Likelihood Ratio)

由 Art Owen (1988, 1990) 提出，候选分布 \(F\) 的经验似然比定义为其似然值与无约束最大似然值的比值：

\[ R(F) = \frac{L(F)}{L(F_n)} = \frac{\prod_{i=1}^n p_i}{\prod_{i=1}^n (1/n)} = \prod_{i=1}^n (n p_i) \]

注意：对于所有合法的分布 \(F\)，都有 \(R(F) \le 1\)。这个比值衡量了候选分布 \(F\) 相较于无约束的经验分布 \(F_n\) 的“合理性”。

5. 均值的经验似然与优化求解

假设我们对参数向量感兴趣，例如均值 \(\mu = E_F(X) = \int x dF(x)\)。 \(\mu\) 的轮廓经验似然比 (Profile empirical likelihood ratio) \(\mathcal{R}(\mu)\) 定义为在满足参数约束的所有分布 \(F\) 中最大化 \(R(F)\)：

\[ \mathcal{R}(\mu) = \sup \left\{ \prod_{i=1}^n (n p_i) \Bigg| p_i \ge 0, \sum_{i=1}^n p_i = 1, \sum_{i=1}^n p_i X_i = \mu \right\} \]

这把统计推断转变成了一个约束优化问题。我们需要寻找一组在似然意义上最接近 \(1/n\) 的权重 \(p_i\)，同时迫使其期望值等于候选的 \(\mu\)。

拉格朗日乘子法求解 (Lagrange Multipliers)

我们要最大化对数似然比：

\[ \log \mathcal{R}(\mu) = \sum_{i=1}^n \log(n p_i) \]

受限于 \(\sum p_i = 1\) 和 \(\sum p_i(X_i - \mu) = 0\)。引入拉格朗日乘子 \(\gamma\) 和 \(n\lambda\)（这里用 \(n\) 缩放 \(\lambda\) 纯粹为了后续代数化简方便），构造拉格朗日函数：

\[ \mathcal{L}(p, \gamma, \lambda) = \sum_{i=1}^n \log(n p_i) - \gamma \left( \sum_{i=1}^n p_i - 1 \right) - n\lambda^T \left( \sum_{i=1}^n p_i(X_i - \mu) \right) \]

对 \(p_i\) 求偏导并令其为 0：

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial p_i} = \frac{1}{p_i} - \gamma - n\lambda^T (X_i - \mu) = 0 \]

将整个方程同乘 \(p_i\) 并对所有的 \(i\) 求和：

\[ \sum_{i=1}^n 1 - \gamma \sum_{i=1}^n p_i - n\lambda^T \sum_{i=1}^n p_i(X_i - \mu) = 0 \]

利用约束条件 \(\sum p_i = 1\) 和 \(\sum p_i(X_i - \mu) = 0\)，方程极为优美地坍缩为：

\[ n - \gamma(1) - n\lambda^T(0) = 0 \implies \gamma = n \]

将 \(\gamma = n\) 代回一阶条件并解出 \(p_i\)，我们得到了最优的概率权重：

\[ p_i = \frac{1}{n} \frac{1}{1 + \lambda^T(X_i - \mu)} \]

拉格朗日乘子 \(\lambda\) 则由剩下的矩约束方程隐式决定。代入 \(p_i\) 后得到关于 \(\lambda\) 的得分方程：

\[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{X_i - \mu}{1 + \lambda^T(X_i - \mu)} = 0 \]

将最优权重 \(p_i\) 代回目标函数，我们得到了经验对数似然比统计量 (Profile Empirical Log-Likelihood Ratio Statistic)：

\[ l_E(\mu) = -2 \log \mathcal{R}(\mu) = -2 \sum_{i=1}^n \log(n p_i) = -2 \sum_{i=1}^n \log \left( \frac{1}{1 + \lambda^T(X_i - \mu)} \right) = 2 \sum_{i=1}^n \log \{ 1 + \lambda^T(X_i - \mu) \} \]

令人惊奇的是，这个函数在渐近行为上与传统的参数似然比统计量极为相似。

6. 经验似然的 Wilks 定理

定理 9.3 (经验似然的 Wilks 定理, Owen 1988, 1990)

设 \(X_1, ..., X_n\) 为 \(\mathbb{R}^d\) 中的 i.i.d. 随机向量，具有真实的均值 \(\mu_0\) 以及有限且正定的协方差矩阵 \(\Sigma\)。那么，当 \(n \rightarrow \infty\) 时：

\[ l_E(\mu_0) = -2 \log \mathcal{R}(\mu_0) \xrightarrow{d} \chi^2_d \]

该定理的非凡意义：我们获得了一个非参数的枢轴量 (pivot)。要为 \(\mu\) 构建置信区间，我们只需要依赖于 \(\chi^2\) 的分位数，既不需要假设任何参数分布，也根本不需要显式地去估计协方差矩阵 \(\Sigma\)！

经验似然 Wilks 定理的证明（以一维 \(d=1\) 为例，点击展开）

为了代数上的简便，假设维度 \(d=1\)。令 \(Z_i = X_i - \mu_0\)。由定义，\(E(Z_i) = 0\) 且 \(E(Z_i^2) = \sigma^2\)。

决定 \(\lambda\) 的方程为 \(g(\lambda) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{Z_i}{1 + \lambda Z_i} = 0\)。应用几何级数展开 \(\frac{1}{1+x} = 1 - x + \frac{x^2}{1+x}\)：

\[ 0 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Z_i \left( 1 - \lambda Z_i + \frac{\lambda^2 Z_i^2}{1 + \lambda Z_i} \right) = \bar{Z} - \lambda \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Z_i^2 \right) + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{\lambda^2 Z_i^3}{1 + \lambda Z_i} \]

由于方差有限，有 \(\max_i |Z_i| = o_p(n^{1/2})\)，误差项可以被控制。解出 \(\lambda\) 得到其渐近表示：

\[ \lambda = \frac{\bar{Z}}{S_Z^2} + o_p(n^{-1/2}) = O_p(n^{-1/2}) \]

其中 \(S_Z^2 = \frac{1}{n}\sum Z_i^2 \xrightarrow{p} \sigma^2\)。

接下来，我们使用泰勒级数展开经验对数似然比统计量 \(l_E(\mu_0)\)：\(\log(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - \dots\) 因为 \(\lambda = O_p(n^{-1/2})\) 且 \(\max |Z_i| = o_p(n^{1/2})\)，所以 \(\max |\lambda Z_i| \rightarrow 0\)，允许安全的泰勒展开：

\[ l_E(\mu_0) = 2 \sum_{i=1}^n \log(1 + \lambda Z_i) = 2 \sum_{i=1}^n \left( \lambda Z_i - \frac{1}{2}\lambda^2 Z_i^2 + \eta_i \right) \]

余项 \(2 \sum \eta_i \le C |\lambda|^3 \sum |Z_i|^3 = o_p(1)\)。因此：

\[ l_E(\mu_0) = 2\lambda \sum_{i=1}^n Z_i - \lambda^2 \sum_{i=1}^n Z_i^2 + o_p(1) \]

将主导项 \(\lambda \approx \frac{\bar{Z}}{\sigma^2}\) 和 \(\sum Z_i^2 \approx n\sigma^2\) 代入展开式：

\[ l_E(\mu_0) \approx 2 \left(\frac{\bar{Z}}{\sigma^2}\right)(n\bar{Z}) - \left(\frac{\bar{Z}}{\sigma^2}\right)^2 (n\sigma^2) = \frac{2n\bar{Z}^2}{\sigma^2} - \frac{n\bar{Z}^2}{\sigma^2} = \frac{n\bar{Z}^2}{\sigma^2} \]

我们通过代数将其成功化简为：

\[ l_E(\mu_0) \approx \left( \frac{\sqrt{n}\bar{Z}}{\sigma} \right)^2 = \left( \frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu_0)}{\sigma} \right)^2 \]

由经典的中心极限定理 (CLT) 已知 \(\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu_0)}{\sigma} \xrightarrow{d} N(0,1)\)。根据连续映射定理，标准正态分布随机变量的平方收敛于自由度为 1 的卡方分布：

\[ -2 \log \mathcal{R}(\mu_0) \xrightarrow{d} \chi^2_1 \]

经验似然的核心优势

数据驱动的形状 (Data-Driven Shape)：与 Wald 类型的区间（如 \(\bar{X} \pm 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)）不同，经验似然的置信区域完全由数据决定。它们不需要是对称的，能够完美地捕捉到潜在分布的偏态 (skewness)。
保域性 (Range Preserving)：EL 区间严格限制在数据的凸包 (convex hull) 内部。估计结果在逻辑上永远不会违背自然边界（例如，不会出现负的概率值）。
内在学生化 (Internal Studentization)：方差的缩放（学生化）在经验似然中是隐含自动完成的。我们无需显式地去插入一个方差 \(\Sigma\) 的估计量。
变换不变性 (Transformation Respecting)：经验似然区域在平滑的参数重参数化 (reparameterization) 之下保持不变。