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3.1 抽象积分的构造与简单函数

在黎曼积分中，我们通过划分定义域上的区间来构造积分（即竖切法）。而在 Lebesgue 抽象积分论中，我们通过划分值域来构造积分（即横切法）。这种构造的核心桥梁是简单函数 (Simple Function)，它是连接测度与积分的基础。

1. 特征函数与简单函数

定义 3.1.1 (特征函数与简单函数)

  • 特征函数 (Characteristic Function)：对于测度空间 \(X\) 中的子集 \(E \in \mathcal{M}\)，定义其特征函数为：
\[ \chi_E(x) = \begin{cases} 1, & x \in E \\ 0, & x \notin E \end{cases} \]
  • 简单函数 (Simple Function)：如果一个可测函数 \(\phi: X \to \mathbb{C}\) 的值域是有限集，则称其为简单函数。任何简单函数都可以表示为特征函数的有限线性组合：
\[ \phi(x) = \sum_{j=1}^n a_j \chi_{E_j}(x) \]

其中 \(a_j \in \mathbb{C}\)，且 \(E_j = \{x \in X : \phi(x) = a_j\} \in \mathcal{M}\) 是一组互不相交的可测集分割。这被称为简单函数的标准表示。

简单函数的重要性在于，任何可测函数都可以被简单函数完美逼近。

定理 3.1.1 (简单函数逼近定理)

设 \((X, \mathcal{M})\) 为可测空间。

  • 对于任意非负可测函数 \(f: X \to [0, +\infty]\)，必定存在一列非负简单函数 \(\{\phi_n\}_{n=1}^\infty\)，满足单调递增且逐点收敛于 \(f\)：
\[ 0 \le \phi_1 \le \phi_2 \le \dots \le f, \quad \lim_{n \to \infty} \phi_n(x) = f(x) \]
  • 若 \(f\) 是一般复值可测函数，则存在一列复简单函数序列 \(\{\psi_n\}\)，使得 \(0 \le |\psi_1| \le |\psi_2| \le \dots \le |f|\) 且 \(\psi_n \to f\)。

2. 简单函数的积分

我们将从最简单的阶梯块开始定义“面积”或积分。

定义 3.1.2 (非负简单函数的积分)

设 \((X, \mathcal{M}, \mu)\) 为测度空间，\(\phi = \sum_{j=1}^n a_j \chi_{E_j}\) 是一非负简单函数的标准表示（\(a_j \ge 0\)），则定义 \(\phi\) 关于测度 \(\mu\) 的积分为：

\[ \int_X \phi \, d\mu = \sum_{j=1}^n a_j \mu(E_j) \]

注意：在测度论中，我们采用约定 \(0 \cdot \infty = 0\)。这意味着即使某个集合的测度为无穷大，只要函数在该集合上取值为 0，其积分贡献就是 0。对于可测子集 \(A \subset X\)，局部积分定义为 \(\int_A \phi \, d\mu = \int_X \phi \cdot \chi_A \, d\mu\)。

简单函数的积分拥有完美的代数结构。

定理 3.1.2 (简单函数积分的性质)

设 \(\phi, \psi\) 为非负简单函数，\(c \ge 0\) 为常数，则：

  • 线性性：\(\int c\phi = c \int \phi\) 且 \(\int (\phi + \psi) = \int \phi + \int \psi\)。

  • 单调性：若 \(\phi \le \psi\)，则 \(\int \phi \le \int \psi\)。

  • 集函数性质：映射 \(A \mapsto \nu(A) = \int_A \phi \, d\mu\) 构成了 \(\mathcal{M}\) 上的一个新测度。

3. 非负可测函数的积分

利用上确界，我们可以将积分从简单函数推广到任意非负可测函数。

定义 3.1.3 (非负可测函数的积分)

设 \(f: X \to [0, +\infty]\) 是一个非负可测函数（记为 \(f \in L^+\)）。定义 \(f\) 的积分为所有位于 \(f\) 下方的非负简单函数积分的上确界：

\[ \int_X f \, d\mu = \sup \left\{ \int_X \phi \, d\mu : 0 \le \phi \le f, \phi \text{ 为简单函数} \right\} \]

对于非负可测函数的积分，有以下与“几乎处处 (a.e.)”相关的核心性质。

命题 3.1.1 (非负积分的几乎处处性质)

设 \(f \in L^+\)，则：

  • \(\int f \, d\mu = 0\) 当且仅当 \(f = 0\) 几乎处处成立 (\(f = 0\) a.e.)。

  • 若 \(\int f \, d\mu < \infty\)，则 \(f < \infty\) 几乎处处成立（即可积函数必然几乎处处有限）。

证明：\(\int f = 0 \iff f = 0 \text{ a.e.}\)

充分性 (\(\Leftarrow\))：若 \(f = 0\) a.e.，对于任意满足 \(0 \le \phi \le f\) 的简单函数 \(\phi = \sum a_j \chi_{E_j}\)，只要 \(a_j > 0\)，必有 \(\mu(E_j) = 0\)。因此 \(\int \phi = 0\)，由上确界定义得 \(\int f = 0\)。

必要性 (\(\Rightarrow\))：若 \(\int f = 0\)。定义集合 \(E_n = \{x : f(x) \ge \frac{1}{n}\}\)，那么显然有 \(\frac{1}{n} \chi_{E_n} \le f\)。

由积分的单调性：

\[ \int f \ge \int \frac{1}{n} \chi_{E_n} = \frac{1}{n} \mu(E_n) \]

既然 \(\int f = 0\)，必然推导出 \(\mu(E_n) = 0\)。 而 \(\{x : f(x) > 0\} = \bigcup_{n=1}^\infty E_n\)，由测度的次可加性可知该集合测度为 0，即 \(f = 0\) a.e.。

4. 一般可积函数与 \(L^1\) 空间

有了非负函数的积分，我们就可以通过正负部拆分定义一般的实数或复数积分。

定义 3.1.4 (实可积函数与 \(L^1\) 空间)

设 \(f: X \to \mathbb{R}\) 是实可测函数，将其分解为正部和负部 \(f = f^+ - f^-\)（且 \(|f| = f^+ + f^-\)）。

如果正部和负部的积分都有限，即 \(\int f^+ < \infty\) 且 \(\int f^- < \infty\)，则称 \(f\) 在 \(X\) 上是 Lebesgue 可积的。全体这样的函数构成的空间记为 \(L^1(\mu)\)。

此时，定义 \(f\) 的积分为：

\[ \int_X f \, d\mu = \int_X f^+ \, d\mu - \int_X f^- \, d\mu \]

显然，\(f \in L^1(\mu)\) 当且仅当 \(\int |f| \, d\mu < \infty\)。

对于复值函数 \(f(x) = u(x) + i v(x)\)，如果 \(|f| \in L^1(\mu)\)，则定义其积分为 \(\int f = \int u + i \int v\)。

定理 3.1.3 (积分的绝对不等式)

若 \(f \in L^1(\mu)\)，则有绝对值不等式：

\[ \left| \int_X f \, d\mu \right| \le \int_X |f| \, d\mu \]
绝对值不等式的证明 (复数情形)

设积分的值为复数 \(z = \int f d\mu\)。若 \(z = 0\)，不等式显然成立。 若 \(z \ne 0\)，设 \(z = r e^{i\theta}\) (\(r > 0\))，令 \(\alpha = e^{-i\theta}\)，则 \(\alpha z = |\int f d\mu|\)。 由于 \(\alpha z\) 是实数，有：

\[ \left| \int f \right| = \alpha \int f = \int (\alpha f) = \text{Re} \left( \int \alpha f \right) = \int \text{Re}(\alpha f) \]

因为对于任意复数都有 \(\text{Re}(\alpha f) \le |\alpha f| = |f|\)，由积分的单调性即得：

\[ \int \text{Re}(\alpha f) \le \int |f| \]

综合即证得绝对不等式成立。

命题 3.1.2 (积分在 a.e. 等价下的不变性)

设 \(f, g\) 为可测函数。如果 \(f = g\) 几乎处处成立 (\(f = g\) a.e.)，且 \(f \in L^1(\mu)\)，那么 \(g \in L^1(\mu)\) 且它们具有相同的积分：

\[ \int_X f \, d\mu = \int_X g \, d\mu \]

这一性质表明，Lebesgue 积分对于零测集上的改变是完全“免疫”的。在泛函分析中，我们通常将彼此几乎处处相等的函数视为 \(L^1\) 空间中的同一个元素。

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