4.2 绝对连续与 Radon-Nikodym 定理

在上一节中，我们探讨了单一符号测度的内部结构（Hahn-Jordan 分解）。本节我们将视角转向同一可测空间上两个不同测度之间的关系。如果说“相互奇异”刻画了两个测度完全不相干的极端情况，那么“绝对连续”则描述了另一个极端：一个测度完全受制于另一个测度。

探索这一关系的顶点，便是现代分析和概率论的核心支柱——Lebesgue-Radon-Nikodym 定理。

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1. 测度的绝对连续性

在微积分中，绝对连续函数具有良好的性质。在测度论中，绝对连续性反映了“零测集的遗传性”。

定义 4.2.1 (绝对连续 Absolute Continuity)

设 \(\mu\) 是可测空间 \((X, \mathcal{M})\) 上的一个非负测度，\(\nu\) 是同一个空间上的符号测度（或复测度）。

如果对于任意满足 \(\mu(E) = 0\) 的可测集 \(E \in \mathcal{M}\)，都有：

\[ \nu(E) = 0 \]

则称测度 \(\nu\) 关于 \(\mu\) 绝对连续，记作 \(\nu \ll \mu\)。

• 注记：因为全变差测度 \(|\nu|\) 在 \(E\) 上的值由 \(E\) 的子集的 \(\nu\) 值决定，所以 \(\nu \ll \mu\) 当且仅当 \(|\nu| \ll \mu\)。

绝对连续性有一个极其直观的 \(\epsilon-\delta\) 等价刻画，它解释了“连续”一词的由来：只要集合的 \(\mu\) 测度足够小，它的 \(\nu\) 测度就可以任意小。

定理 4.2.1 (绝对连续的 \(\epsilon-\delta\) 刻画)

设 \(\nu\) 为一个有限符号测度（即 \(|\nu|(X) < \infty\)）。那么 \(\nu \ll \mu\) 当且仅当：对于任意 \(\epsilon > 0\)，必定存在 \(\delta > 0\)，使得对任意满足 \(\mu(E) < \delta\) 的可测集 \(E \in \mathcal{M}\)，都有：

\[ |\nu(E)| < \epsilon \]

定理 4.2.1 的证明

充分性 (\(\Leftarrow\))：若 \(\mu(E) = 0\)，则对于任意 \(\delta > 0\) 都满足 \(\mu(E) < \delta\)。由条件可知对任意 \(\epsilon > 0\) 都有 \(|\nu(E)| < \epsilon\)，因此必定有 \(\nu(E) = 0\)，即 \(\nu \ll \mu\)。

必要性 (\(\Rightarrow\))：采用反证法。假设结论不成立，那么存在某个 \(\epsilon > 0\)，使得对任意的 \(n \in \mathbb{N}\)（取 \(\delta = 1/2^n\)），都存在对应的集合 \(E_n \in \mathcal{M}\)，满足：

\[ \mu(E_n) < \frac{1}{2^n} \quad \text{但是} \quad |\nu(E_n)| \ge \epsilon \]

定义集合序列的“上极限”：

\[ F_k = \bigcup_{n=k}^\infty E_n, \quad F = \bigcap_{k=1}^\infty F_k \]

由于测度 \(\mu\) 的次可加性：

\[ \mu(F_k) \le \sum_{n=k}^\infty \mu(E_n) < \sum_{n=k}^\infty \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2^{k-1}} \]

显然当 \(k \to \infty\) 时，\(\mu(F_k) \to 0\)。由自上连续性得 \(\mu(F) = 0\)。

因为已知 \(\nu \ll \mu\)，所以必须有 \(|\nu|(F) = 0\)。

然而，由于 \(\nu\) 是有限测度，利用自上连续性：

\[ |\nu|(F) = \lim_{k \to \infty} |\nu|(F_k) \ge \limsup_{k \to \infty} |\nu(E_k)| \ge \epsilon > 0 \]

这导致了严重矛盾！因此假设不成立，原命题得证。

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2. Lebesgue-Radon-Nikodym 定理

在很多应用场景中，给定积分测度 \(d\nu = f d\mu\)，我们可以轻易判定 \(\nu \ll \mu\)。那么反过来，如果已知 \(\nu \ll \mu\)，能否找到一个函数 \(f\)，使得 \(d\nu = f d\mu\) 呢？

Lebesgue-Radon-Nikodym 定理完美地回答了这个问题，并给出了更为一般的分解结构。

定理 4.2.2 (Lebesgue-Radon-Nikodym 定理)

设 \(\mu\) 和 \(\nu\) 是可测空间 \((X, \mathcal{M})\) 上的两个 \(\sigma\)-有限测度（\(\nu\) 可以是符号测度）。

那么，存在唯一的一对测度 \(\lambda\) 和 \(\rho\)，使得：

\[ \nu = \lambda + \rho \]

并且满足以下两个核心条件：

• 奇异性：\(\lambda \perp \mu\) （即存在互补集将它们完全隔开）。

• 绝对连续性：\(\rho \ll \mu\)。而且存在一个 \(\mu\)-几乎处处唯一的函数 \(f \in L^1(\mu)\)（如果 \(\nu\) 不取负无穷则为扩展的局部可积函数），使得对于所有的可测集 \(E \in \mathcal{M}\) 有：

\[ \rho(E) = \int_E f \, d\mu \]

• 注记：这个分解被称为 \(\nu\) 关于 \(\mu\) 的 Lebesgue 分解。\(\lambda\) 称为奇异部分，\(\rho\) 称为绝对连续部分。函数 \(f\) 正好充当了两者之间的“密度”。

Lebesgue-Radon-Nikodym 定理的核心构造证明（针对有限非负测度情形）

为简化，假设 \(\mu\) 和 \(\nu\) 都是有限非负测度。我们通过构造最大的“下方函数”来寻找 \(f\)。

定义如下函数族：

\[ \mathcal{F} = \left\{ g : X \to [0, +\infty] \text{ 为可测函数 } \mid \int_E g \, d\mu \le \nu(E), \forall E \in \mathcal{M} \right\} \]

显然常数函数 \(g = 0\) 在 \(\mathcal{F}\) 中，所以 \(\mathcal{F}\) 非空。并且如果 \(g_1, g_2 \in \mathcal{F}\)，可以证明 \(\max(g_1, g_2) \in \mathcal{F}\)。

令 \(M = \sup_{g \in \mathcal{F}} \int_X g \, d\mu\)。由于 \(\nu(X) < \infty\)，故 \(M < \infty\)。 我们可以取到一个序列 \(\{g_n\} \subset \mathcal{F}\)，使得 \(\int g_n d\mu \to M\)。 令 \(f_n = \max(g_1, \dots, g_n)\)，则 \(\{f_n\}\) 是一个单调递增的函数列，且 \(f_n \in \mathcal{F}\)。

根据单调收敛定理 (MCT)，令 \(f = \lim_{n \to \infty} f_n = \sup_n f_n\)，则 \(f \in \mathcal{F}\) 并且：

\[ \int_X f \, d\mu = M \]

现在，我们定义剩余的测度部分 \(\lambda\) 为：

\[ \lambda(E) = \nu(E) - \int_E f \, d\mu \]

由 \(f \in \mathcal{F}\) 可知，\(\lambda\) 是一个非负测度。现在我们只需证明 \(\lambda \perp \mu\)。 如果 \(\lambda\) 与 \(\mu\) 不奇异，那么根据测度论技巧，必然能在某个测度为正的集合上找到一个极小的扰动 \(\epsilon \mu \le \lambda\)，从而使得 \(f + \epsilon \chi_A\) 依然属于 \(\mathcal{F}\)。 但这将导致 \(\int (f + \epsilon \chi_A) d\mu = M + \epsilon \mu(A) > M\)，与 \(M\) 是上确界相矛盾！

因此，\(\lambda\) 必定关于 \(\mu\) 奇异，定理的非负情形得证。符号测度或 \(\sigma\)-有限测度可通过 Hahn 分解和全空间分割转化为该情形。

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3. Radon-Nikodym 定理与导数

作为 Lebesgue 分解定理的直接推论，当我们提前知道了 \(\nu \ll \mu\) 时，奇异部分 \(\lambda\) 就会退化为 0。

定理 4.2.3 (Radon-Nikodym 定理)

设 \(\mu, \nu\) 为 \(\sigma\)-有限测度，且 \(\nu \ll \mu\)。

那么必定存在一个 \(\mu\)-几乎处处唯一的函数 \(f\)，使得对于任意可测集 \(E \in \mathcal{M}\)：

\[ \nu(E) = \int_E f \, d\mu \]

这个神奇的函数 \(f\) 就被称为 \(\nu\) 关于 \(\mu\) 的 Radon-Nikodym 导数 (Radon-Nikodym Derivative)，通常记作符号分式：

\[ f = \frac{d\nu}{d\mu} \]

Radon-Nikodym 导数在积分运算中完美模拟了微积分中的导数链式法则。

命题 4.2.1 (Radon-Nikodym 导数的性质)

设所有的测度均为 \(\sigma\)-有限测度。

• 积分法则：如果 \(g \in L^1(\nu)\)，那么 \(g \frac{d\nu}{d\mu} \in L^1(\mu)\)，并且有直观的变量代换公式：

\[ \int_X g \, d\nu = \int_X g \frac{d\nu}{d\mu} \, d\mu \]

• 链式法则：如果 \(\nu \ll \mu\) 且 \(\mu \ll \lambda\)，则 \(\nu \ll \lambda\)，并且几乎处处有：

\[ \frac{d\nu}{d\lambda} = \frac{d\nu}{d\mu} \frac{d\mu}{d\lambda} \]

• 倒数法则：如果 \(\mu \ll \nu\) 且 \(\nu \ll \mu\)（即它们等价，具有完全相同的零测集），那么几乎处处有：

\[ \frac{d\nu}{d\mu} = \left( \frac{d\mu}{d\nu} \right)^{-1} \]

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4. 复测度与极分解 (Complex Measures)

符号测度的取值限于实数。如果我们允许测度取复数值，就得到了泛函分析中非常重要的复测度。

定义 4.2.2 (复测度 Complex Measure)

设 \((X, \mathcal{M})\) 为可测空间。集函数 \(\nu: \mathcal{M} \to \mathbb{C}\) 称为一个复测度，如果它对任何互不相交的可测集列 \(\{E_j\}\) 满足：

\[ \nu\left(\bigcup_{j=1}^\infty E_j\right) = \sum_{j=1}^\infty \nu(E_j) \]

注意：为使复数级数的和与排列顺序无关，该级数必须是绝对收敛的。这意味着复测度天然地只取有限值，不能取 \(\infty\)。

任何复测度 \(\nu\) 都可以被唯一地分解为实部和虚部：\(\nu = \nu_r + i \nu_i\)，其中 \(\nu_r\) 和 \(\nu_i\) 都是有限的符号测度。

定义 4.2.3 (全变差 Total Variation)

对复测度 \(\nu\)，定义其全变差测度 \(|\nu|\) 为：

\[ |\nu|(E) = \sup \sum_{j=1}^n |\nu(E_j)| \]

其中上确界是对集合 \(E\) 的所有有限可测划分 \(\{E_j\}_{j=1}^n\) 取得的。\(|\nu|\) 也是一个有限的非负测度。

有了 Radon-Nikodym 定理的加持，我们可以像表示复数的极坐标形式 \(z = r e^{i\theta}\) 一样，对复测度进行绝妙的“极分解”。

定理 4.2.4 (复测度的极分解 Polar Decomposition)

设 \(\nu\) 为一个复测度。由于根据全变差的定义显然有 \(\nu \ll |\nu|\)，由 Radon-Nikodym 定理，必定存在一个复可测函数 \(h = \frac{d\nu}{d|\nu|}\)，使得：

\[ d\nu = h \, d|\nu| \]

更重要的是，这个函数 \(h\) 满足 \(|\nu|\)-几乎处处有：

\[ |h(x)| = 1 \]

利用极分解，关于复测度的积分可以严格地定义转化为关于其全变差测度（非负测度）的积分。如果 \(f \in L^1(|\nu|)\)，则定义：

\[ \int_X f \, d\nu = \int_X f \cdot h \, d|\nu| \]

从这个定义中，我们可以非常直接地推导出复积分绝对值的不等式界限：

\[ \left| \int_X f \, d\nu \right| \le \int_X |f| \, d|\nu| \]

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