第一章：集合论与逻辑基础
在深入学习点集拓扑之前，我们需要建立严密的集合论基础。本章将从 ZFC 公理系统出发，回顾集合的基本运算、映射的概念，并重点探讨集合的势（基数）以及著名的 Cantor 定理，最后简要介绍关系与偏序。
1. ZFC 公理系统简介
现代数学广泛采用 ZF (Zermelo-Fraenkel) 或 ZFC（附加选择公理）作为集合论的公理化基础。该理论建立在逻辑符号（如 \(\vee, \wedge, \neg, \forall, \exists\)）和关系符号（如 \(\in, =\)）之上。
基本集合论公理 (ZF 与 ZFC)
以下是构建 ZF 公理系统的 9 条基本公理（加入第 10 条即为 ZFC）：
- 1. 外延公理 (Extensionality)：两个集合相等，当且仅当它们包含相同的元素。
- 2. 空集公理 (Empty set)：存在一个不包含任何元素的集合，记为 \(\emptyset\)。
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3. 配对公理 (Pairing)：给定任意两个集合 \(A\) 和 \(B\)，存在一个集合其元素恰好为 \(A\) 和 \(B\)。即可以得到 \(\{A, B\}\)。
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4. 并集公理 (Union)：给定任意集合族 \(A\)，存在一个集合包含了 \(A\) 中所有元素的元素。记为 \(\cup A\)。例如，若 \(A = \{\{1,2\}, \{3\}\}\)，则 \(\cup A = \{1,2,3\}\)。
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5. 子集公理 / 分离公理 (Subset / Separation)：给定集合 \(A\) 和一个性质（公式） \(\varphi(x)\)，可以构造一个包含 \(A\) 中所有满足 \(\varphi(x)\) 的元素的集合。即可以得到 \(\{x \in A \mid \varphi(x)\}\)。
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6. 幂集公理 (Power set)：对于任意集合 \(A\)，存在一个集合包含了 \(A\) 的所有子集。该集合称为 \(A\) 的幂集，记为 \(P(A)\) 或 \(2^A\)。
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7. 无穷公理 (Infinity)：存在一个包含空集，且对其元素进行后继运算封闭的归纳集。即存在无限集。
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8. 替换公理 (Replacement)：如果一个类函数的定义域是一个集合，那么它的值域也是一个集合。即对于 \(A\) 中的每个元素 \(x\)，若有唯一的 \(y\) 使得 \(\varphi(x, y)\) 成立，则所有这样的 \(y\) 构成一个集合。
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9. 正则公理 / 基础公理 (Regularity / Foundation)：任何非空集合 \(A\) 都包含一个与 \(A\) 不交的元素。即：
- 10. 选择公理 (Axiom of Choice, AC)：对于任意由非空且互不相交的集合组成的族，存在一个“选择函数”，能够从族中的每个集合里恰好挑出一个元素。加上此公理构成的系统称为 ZFC。
2. 集合的基本运算与笛卡尔积
在拓扑学中，我们经常需要处理一族集合（集合族）的交与并。
定义 1.1 (集合族的交与并)
设 \(\mathcal{F}\) 为任意集合族（即其元素本身也是集合），定义 \(\mathcal{F}\) 中所有元素的并集与交集如下：
- 并集：
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若 \(\mathcal{F} = \{A_1, A_2, \dots, A_n\}\)，则 \(\cup \mathcal{F} = A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n\)。
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交集：对于非空集合族 \(\mathcal{F}\)：
- 若 \(\mathcal{F} = \{A_1, A_2, \dots, A_n\}\)，则 \(\cap \mathcal{F} = \bigcap_{i=1}^n A_i\)。
定义 1.2 (序对与笛卡尔积)
- 有序对 (Ordered Pair)：由两个元素 \(a\) 和 \(b\) 组成的序列称为有序对，记作 \((a, b)\)。其基本性质为：
- 笛卡尔积 (Cartesian Product)：两个集合 \(A\) 和 \(B\) 的笛卡尔积定义为所有可能的有序对构成的集合：
3. 映射与集合的势 (基数)
映射是连接不同集合结构的核心工具，而“势”则推广了有限集中“元素个数”的概念。
定义 1.3 (映射)
给定集合 \(A\) 和 \(B\)。映射 (Mapping) \(f\) 是 \(A \times B\) 的一个子集，满足：对于任意的 \(a \in A\)，存在唯一的 \(b \in B\)，使得 \((a, b) \in f\)。
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通常记作 \(f: A \to B\)。
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这个唯一的 \(b\) 称为 \(a\) 在 \(f\) 下的像，记为 \(b = f(a)\)。
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对于子集 \(A_0 \subseteq A\)，其像 (Image) 定义为：
- 对于子集 \(U \subseteq B\)，其原像 (Preimage) 定义为：
集合的势用于刻画集合的大小。若集合 \(A\) 和 \(B\) 之间存在一个双射（既是单射又是满射的一一对应），则称 \(A\) 与 \(B\) 等势（或称拥有相同的基数），记为 \(|A| = |B|\) 或 \(A \sim B\)。
- 实例：实数集 \(\mathbb{R}\) 和自然数集的幂集 \(P(\mathbb{N})\) 存在一一对应关系，即 \(|\mathbb{R}| = |P(\mathbb{N})|\)。
关于集合的势，集合论中最著名的结论之一是 Cantor 定理，它指出了任何集合的幂集必定“严格大于”原集合。
定理 1.1 (Cantor 定理)
对于任意集合 \(A\)，不存在从 \(A\) 到其幂集 \(P(A)\) 的满射。
换言之，集合 \(A\) 的势严格小于其幂集 \(P(A)\) 的势，即 \(|A| < |P(A)|\)。
Cantor 定理的证明（对角线法）
采用反证法。
假设存在一个从 \(A\) 到 \(P(A)\) 的满射映射 \(\phi: A \to P(A)\)。 这意味着，对于 \(P(A)\) 中的每一个元素（即 \(A\) 的每一个子集），都能在 \(A\) 中找到至少一个原像。
现在，我们构造一个特殊的集合 \(B \subseteq A\)：
由于 \(B\) 的元素都取自 \(A\)，显然 \(B\) 是 \(A\) 的一个子集，即 \(B \in P(A)\)。
因为 \(\phi\) 是满射，所以必定存在某个元素 \(a_0 \in A\)，使得它的像恰好是集合 \(B\)。即：
接下来，我们讨论元素 \(a_0\) 是否属于集合 \(B\)。只有以下两种可能：
- 情形 1：假设 \(a_0 \in B\)
根据集合 \(B\) 的定义，如果 \(a_0 \in B\)，则必须满足 \(a_0 \notin \phi(a_0)\)。 但我们已知 \(\phi(a_0) = B\)，这就意味着 \(a_0 \notin B\)。 这导致了矛盾（\(a_0 \in B \Rightarrow a_0 \notin B\)）。
- 情形 2：假设 \(a_0 \notin B\)
既然 \(a_0 \notin B\)，且 \(B = \phi(a_0)\)，这就意味着 \(a_0 \notin \phi(a_0)\)。 然而，根据集合 \(B\) 的构造条件，所有满足 \(x \notin \phi(x)\) 的元素 \(x\) 都应该被包含在 \(B\) 中。 因此，必须有 \(a_0 \in B\)。 这同样导致了矛盾（\(a_0 \notin B \Rightarrow a_0 \in B\)）。
综上所述，无论哪种情况都会导致不可调和的逻辑矛盾。 因此，最初的假设——“存在从 \(A\) 到 \(P(A)\) 的满射”是错误的。定理得证。 \(\square\)
4. 关系与偏序集
除了映射，集合上的二元关系也是构建复杂数学结构（如偏序和等价关系）的基石。
定义 1.4 (二元关系与偏序)
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关系 (Relation)：设 \(X\) 为一个集合。\(X\) 上的一个二元关系 \(R\) 是笛卡尔积 \(X \times X\) 的一个子集，即 \(R \subseteq X \times X\)。若 \((a, b) \in R\)，我们通常记作 \(aRb\)。
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偏序关系 (Partial Order)：设 \(\le\) 为 \(X\) 上的二元关系。如果 \(\le\) 满足以下三个性质，则称其为 \(X\) 上的偏序：
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(1) 自反性：对任意 \(a \in X\)，有 \(a \le a\)。
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(2) 反对称性：对任意 \(a, b \in X\)，若 \(a \le b\) 且 \(b \le a\)，则必然有 \(a = b\)。
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(3) 传递性：对任意 \(a, b, c \in X\)，若 \(a \le b\) 且 \(b \le c\)，则必然有 \(a \le c\)。
赋予了偏序关系的集合 \((X, \le)\) 称为偏序集 (Partially Ordered Set)。