第二章：函数与关系

在点集拓扑的研究中，集合之间的映射（函数）以及集合内部的结构（关系）是基础语言。本章将严格定义函数、等价关系以及序关系，这些工具将用于后续构造拓扑空间、商空间以及序拓扑。

1. 函数及其基本性质

函数（映射）在集合论中被视为笛卡尔积的一个特定子集，具有唯一性的特征。

定义 2.1 (函数/映射)

设 \(A, B\) 是两个集合。从 \(A\) 到 \(B\) 的一个函数 \(f\) 是笛卡尔积 \(A \times B\) 的一个子集 \(S_f\)，满足：对于每一个 \(a \in A\)，存在唯一的 \(b \in B\) 使得 \((a, b) \in S_f\)。

记号：若 \((a, b) \in S_f\)，则记作 \(b = f(a)\)。映射本身记为 \(f: A \to B\)。
定义域 (Domain)：记作 \(D(f) = A\)。
像 (Image)：记作 \(I(f) = \{f(a) \mid a \in A\} \subseteq B\)。

1.1 映射的分类

根据映射对元素的覆盖和区分情况，分为以下三类：

单射 (Injective / One-to-one)：若对于任意 \(a, a' \in A\)，当 \(a \neq a'\) 时必有 \(f(a) \neq f(a')\)。
满射 (Surjective / Onto)：若 \(f(A) = B\)，即对于任意 \(b \in B\)，均存在 \(a \in A\) 使得 \(f(a) = b\)。
双射 (Bijective)：既是单射又是满射的映射。

1.2 复合映射与恒等映射

对于集合 \(A\) 到自身的双射，我们有以下性质：

恒等映射：定义 \(id_A: A \to A\) 为 \(id_A(a) = a\)。
复合运算：若 \(f: A \to B\) 且 \(g: B \to C\)，则复合映射 \(g \circ f: A \to C\) 定义为：

\[ (g \circ f)(a) = g(f(a)) \]

2. 关系与等价类

二元关系描述了集合内部元素之间的联系，其中等价关系是构造商空间的核心。

定义 2.2 (二元关系)

集合 \(A\) 上的一个二元关系 \(R\) 是笛卡尔积 \(A \times A\) 的一个子集。若 \((x, y) \in R\)，记作 \(xRy\) 或 \(x \sim y\)。

2.1 等价关系

若关系 \(R\) 满足以下三个性质，则称为等价关系：

自反性 (Reflexive)：对所有 \(x \in A\)，有 \((x, x) \in R\)。
对称性 (Symmetric)：若 \((x, y) \in R\)，则 \((y, x) \in R\)。
传递性 (Transitive)：若 \((x, y) \in R\) 且 \((y, z) \in R\)，则 \((x, z) \in R\)。

2.2 等价类与划分

等价类：由所有与 \(a\) 具有等价关系 \(\sim\) 的元素构成的集合，记为：

\[ [a] = \{ a' \in A \mid a' \sim a \} \]

划分性质：任意两个等价类要么相等，要么不相交。所有等价类的并集等于全空间 \(A\)。

\[ A = \bigcup_{a \in A} [a] \]

3. 序关系 (Order Relations)

序关系为集合引入了方向性，是定义序拓扑的基础。

定义 2.3 (全序/线性序)

集合 \(A\) 上的一个全序关系 \(L\) 是满足以下条件的子集 \(L \subseteq A \times A\)：

(1) 自反性：\((x, x) \in L\)。
(2) 传递性：若 \((x, y) \in L, (y, z) \in L\)，则 \((x, z) \in L\)。
(3) 可比性（三歧性）：对任意 \(x, y \in A\)，必有 \((x, y) \in L\) 或 \((y, x) \in L\) 成立。

3.1 字典序 (Lexicographic Order)

设 \((A, <_A)\) 和 \((B, <_B)\) 是全序集，在 \(A \times B\) 上可以定义字典序 \(<\)： \((a, b) < (a', b')\) 当且仅当：

\[ a <_A a' \quad \text{或} \quad (a = a' \text{ 且 } b <_B b') \]

4. 数学归纳法与有限集

4.1 数学归纳法 (Mathematical Induction)

设 \(P(x)\) 是关于自然数 \(x \in \mathbb{N}_{\ge a}\) 的性质。若满足：

(1) \(P(a)\) 成立；
(2) 假设 \(P(y)\) 对于 \(a \le y \le n\) 成立，可以推导出 \(P(n+1)\) 成立；

则对于所有 \(x \ge a\)，\(P(x)\) 均成立。

4.2 有限集

定义：集合 \(A\) 称为有限集，如果 \(A = \emptyset\)，或者存在一个双射 \(f: A \to \{1, 2, \dots, n\}\)，其中 \(n \in \mathbb{N}\)。
大小：若上述 \(n\) 存在，则称集合 \(A\) 的大小（势）为 \(n\)。

5. 原像与连续性基础 (工具补充)

在拓扑学中，我们更关心子集的“拉回”性质。

定义 2.4 (原像)

对于映射 \(f: X \to Y\) 和 \(Y\) 的子集 \(V\)，定义 \(V\) 的原像为：

\[ f^{-1}(V) = \{ x \in X \mid f(x) \in V \} \]

原像对集合运算具有良好的保持性：

并集保持：\(f^{-1}(\bigcup V_\alpha) = \bigcup f^{-1}(V_\alpha)\)
交集保持：\(f^{-1}(\bigcap V_\alpha) = \bigcap f^{-1}(V_\alpha)\)

这解释了为什么拓扑的连续性通常通过“开集的原像仍是开集”来定义。