1.2 外测度与 Carathéodory 扩张

在建立测度论的过程中，一个核心难题是如何在足够大的 \(\sigma\)-代数上构造测度。Carathéodory 扩张理论提供了一种标准方法：先定义一个涵盖所有子集的“外测度”，再通过一种巧妙的可测性准则筛选出那些表现良好的集合，从而形成 \(\sigma\)-代数。

1. 外测度 (Outer Measure)

外测度是定义在全集 \(X\) 的所有子集上的集函数。与测度不同，它只需要满足次可加性，而不需要满足可数可加性。

定义 1.2.1 (外测度)

设 \(X\) 为一个非空集合。称集函数 \(\mu^*: 2^X \to [0, +\infty]\) 为一个外测度，如果它满足以下性质：

空集性质：\(\mu^*(\emptyset) = 0\)。
单调性：若 \(A \subset B \subset X\)，则 \(\mu^*(A) \le \mu^*(B)\)。
可数次可加性：对于任意子集序列 \(\{A_j\}_{j=1}^\infty \subset 2^X\)，有：

\[ \mu^*\left( \bigcup_{j=1}^\infty A_j \right) \le \sum_{j=1}^\infty \mu^*(A_j) \]

外测度的普遍构造方法

我们可以通过一个简单的集族 \(\Sigma\) 上的初等函数 \(\rho\) 来生成外测度。这种方法在构造勒贝格测度时至关重要。

定理 1.2.1 (外测度的生成)

设 \(\Sigma \subset 2^X\) 为一族子集，满足 \(\emptyset \in \Sigma\)。设 \(\rho: \Sigma \to [0, +\infty]\) 满足 \(\rho(\emptyset) = 0\)。对于任何 \(A \subset X\)，定义：

\[ \mu^*(A) = \inf \left\{ \sum_{j=1}^\infty \rho(E_j) : A \subset \bigcup_{j=1}^\infty E_j, E_j \in \Sigma \right\} \]

则 \(\mu^*\) 是 \(X\) 上的一个外测度。

2. Carathéodory 可测准则

由于外测度在一般集合上不满足可加性，Carathéodory 提出了一种判别条件，用来定义哪些集合是“可测”的。

定义 1.2.2 (Carathéodory 可测性)

设 \(\mu^*\) 是 \(X\) 上的一个外测度。称集合 \(A \subset X\) 是 \(\mu^*\)-可测的，如果对任何试验集 \(E \subset X\)，都满足：

\[ \mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^c) \]

习惯上，所有 \(\mu^*\)-可测集的全体记为 \(\mathcal{M}\)。

直观理解：一个集合 \(A\) 是可测的，意味着它能够对空间中的任何集合 \(E\) 进行“整齐”的分割，使得 \(E\) 在 \(A\) 内外的两部分测度之和等于 \(E\) 整体的测度。验证可测性时，只需证明不等式 \(\mu^*(E) \ge \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^c)\)，因为另一半不等式由次可加性自动成立。

3. Carathéodory 扩张定理

这是测度论的基石定理，它揭示了从外测度筛选出的可测集族具有极好的代数结构。

定理 1.2.2 (Carathéodory Theorem)

设 \(\mu^*\) 是 \(X\) 上的一个外测度，\(\mathcal{M}\) 为所有 \(\mu^*\)-可测集构成的族。则：

结构：\(\mathcal{M}\) 是一个 \(\sigma\)-代数。
测度性：\(\mu^*\) 限制在 \(\mathcal{M}\) 上是一个测度（满足可数可加性）。
完备性：测度空间 \((X, \mathcal{M}, \mu^*)\) 是完备的，即 \(\mu^*\) 的零测集的所有子集都属于 \(\mathcal{M}\)。

Carathéodory 定理证明概要

1. 证明 \(\mathcal{M}\) 是一个代数：由于定义中 \(A\) 与 \(A^c\) 是对称的，显然 \(A \in \mathcal{M} \implies A^c \in \mathcal{M}\)。对于并集的封闭性，可以选取试验集 \(E\)，利用 \(A\) 的可测性进行第一次拆分，再利用 \(B\) 的可测性对拆分后的部分进行第二次拆分，通过次可加性组合各项即可。

2. 证明有限可加性：设 \(A, B \in \mathcal{M}\) 且 \(A \cap B = \emptyset\)。利用 \(A\) 对 \(E \cap (A \cup B)\) 的分割作用，可得 \(\mu^*(E \cap (A \cup B)) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap B)\)。

3. 扩展到可数可加性：设 \(\{A_j\}\) 是 \(\mathcal{M}\) 中互不相交的序列。令 \(B_n = \bigcup_{j=1}^n A_j\)，\(B = \bigcup_{j=1}^\infty A_j\)。通过归纳可知 \(\mu^*(E \cap B_n) = \sum_{j=1}^n \mu^*(E \cap A_j)\)。由于 \(\mu^*(E) = \mu^*(E \cap B_n) + \mu^*(E \cap B_n^c) \ge \sum_{j=1}^n \mu^*(E \cap A_j) + \mu^*(E \cap B^c)\)。令 \(n \to \infty\)，并利用次可加性 \(\mu^*(E \cap B) \le \sum \mu^*(E \cap A_j)\)，两端夹逼即可证明 \(\mu^*(E) = \mu^*(E \cap B) + \mu^*(E \cap B^c)\) 且测度满足可数可加。

4. 预测度与唯一性扩张

在实际应用中，测度通常起始于一个较小的集族（如代数 \(\mathcal{A}\)）。

定义 1.2.3 (预测度 Pre-measure)

设 \(\mathcal{A}\) 是 \(X\) 上的一个代数。称集函数 \(\mu_0: \mathcal{A} \to [0, +\infty]\) 为一个预测度，如果它满足 \(\mu_0(\emptyset) = 0\)，且对 \(\mathcal{A}\) 中任何互不相交的集合列 \(\{A_j\}\)，只要 \(\bigcup A_j \in \mathcal{A}\)，就有：

\[ \mu_0\left(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\right) = \sum_{j=1}^\infty \mu_0(A_j) \]

定理 1.2.3 (扩张的唯一性)

设 \(\mu_0\) 是代数 \(\mathcal{A}\) 上的预测度，\(\mu^*\) 是由 \(\mu_0\) 诱导的外测度。

存在性：\(\mu^*\) 在由 \(\mathcal{A}\) 生成的 \(\sigma\)-代数 \(\sigma(\mathcal{A})\) 上的限制是一个测度，且该测度在 \(\mathcal{A}\) 上与 \(\mu_0\) 一致。
唯一性：如果 \(\mu_0\) 是 \(\sigma\)-有限的（即 \(X\) 可表示为 \(\mathcal{A}\) 中测度有限的集合的可数并），则该测度在 \(\sigma(\mathcal{A})\) 上的扩张是唯一的。

如果预测度不满足 \(\sigma\)-有限性，扩张后的测度可能不唯一。这一结论强调了 \(\sigma\)-有限性在测度论研究中的重要性。