第九章：线性算子

本章我们将深入探讨泛函分析中的核心对象——线性算子。这部分内容将涵盖有界线性算子的基本概念、性质，以及线性算子空间的完备性结构。

1. 有界线性算子的基本概念与性质

1.1 线性算子的定义

定义 9.1 (线性算子)

设 \(E\) 及 \(E_1\) 都是实（或复）的线性空间，\(T\) 是由 \(E\) 的某个子空间 \(D\) 到线性空间 \(E_1\) 中的映射。

如果对任意的 \(x, y \in D\)，有：

\[ T(x+y) = T(x) + T(y) \]

则称 \(T\) 是可加的。

若对任意的实（或复）数 \(a\) 及任意的 \(x \in D\)，有：

\[ T(ax) = aT(x) \]

则称 \(T\) 是齐次的。

既满足可加性又满足齐次性的映射称为线性映射或线性算子。

\(D\) 称为 \(T\) 的定义域，通常记为 \(D_T\)。
\(T(D)\) 称为 \(T\) 的值域，通常记为 \(T(D_T)\)。
\(D\) 中使 \(Tx = \theta\) 的元素的集合称为 \(T\) 的零空间，常用 \(N_T\) 或类似记号表示。
设 \(E_1\) 是实（或复）数域，于是 \(T\) 成为由 \(D\) 到实（或复）数域的算子。这时称 \(T\) 为泛函。如果 \(T\) 还是线性的，则称 \(T\) 为线性泛函。

1.2 连续与有界线性算子

定义 9.2 (连续与有界线性算子)

设 \(E\) 及 \(E_1\) 都是实（或复）的赋范线性空间，\(T\) 是由 \(E\) 的某个子空间 \(D\) 到线性空间 \(E_1\) 中的线性算子。

连续线性算子：如果 \(T\) 在定义域上是连续的，则称 \(T\) 为连续线性算子。
有界线性算子：如果 \(T\) 将 \(D\) 中任一有界集映成 \(E_1\) 中的有界集，则称 \(T\) 是有界线性算子。
无界线性算子：如果存在 \(D\) 中的有界集 \(A\) 使得 \(T(A)\) 是 \(E_1\) 中的无界集，则称 \(T\) 是无界线性算子。

将赋范线性空间 \(E\) 中的每个元素 \(x\) 映成 \(x\) 自身的算子称为 \(E\) 上的单位算子，常以 \(I\) 表示。
将 \(E\) 中的每个元素 \(x\) 映成零元素 \(\theta\) 的算子称为零算子。
单位算子与零算子既是有界线性算子也是连续线性算子。

1.3 无界算子的典型示例

在连续函数空间 \(C[a,b]\) 中讨论微分算子 \(T = \frac{d}{dt}\)。

将 \([a,b]\) 上连续可微函数构成的集 \(C^1[a,b]\) 作为 \(T\) 的定义域 \(D\)。则 \(T\) 是定义在 \(C^1[a,b]\) 上，并且在 \(C[a,b]\) 中取值的线性算子。

我们可以证明 \(T\) 是一个无界算子：

取函数序列：

\[ x_n(t) = \sin(nt) \]

则 \(x_n \in C^1[0,1]\) 且 \(\|x_n\| = 1\)，但是：

\[ \|Tx_n\| = \left\| \frac{d}{dt} \sin(nt) \right\| = n\|\cos(nt)\| = n \]

故 \(T\) 将 \(C[0,1]\) 中的单位球面映成 \(C[0,1]\) 中的无界集。因此 \(T\) 是无界的。

1.4 线性算子有界性与连续性的等价关系

首先看一个连续线性泛函的例子。连续函数的积分：

\[ f(x) = \int_a^b x(t) dt \]

是定义在连续函数空间 \(C[a,b]\) 上的一个有界线性泛函，也是连续线性泛函。因为：

\[ |f(x)| \le (b-a)\|x\| \]

定理 9.1

设 \(E\) 及 \(E_1\) 都是实赋范线性空间，\(T\) 是由 \(E\) 的子空间 \(D\) 到 \(E_1\) 的连续可加算子，则 \(T\) 满足齐次性。因此 \(T\) 是连续线性算子。

定理 9.1 的证明（点击展开）

对任给的 \(x \in D\)，令 \(f(\alpha) = T(\alpha x)\)，则 \(f\) 连续。

若 \(\alpha_n \rightarrow \alpha_0\)，则 \(\alpha_n x \rightarrow \alpha_0 x\)。所以 \(T(\alpha_n x) \rightarrow T(\alpha_0 x)\)，即 \(f(\alpha_n) \rightarrow f(\alpha_0)\)。

对任意两个实数 \(\alpha, \beta\)：

\[ f(\alpha+\beta) = T((\alpha+\beta)x) = T(\alpha x + \beta x) = T(\alpha x) + T(\beta x) = f(\alpha) + f(\beta) \]

由实变函数引理可知，对任何实数有 \(f(\alpha) = \alpha f(1)\)，即 \(T(\alpha x) = \alpha T(x)\)。证明完毕。 \(\square\)

推论：设 \(E\) 及 \(E_1\) 都是复赋范线性空间，\(T\) 是由 \(E\) 的子空间 \(D\) 到 \(E_1\) 的连续可加算子，且满足 \(T(ix) = iT(x)\)，则 \(T\) 满足齐次性。

证明如下：令 \(\alpha = a + ib\)，

\[ T(\alpha x) = T(ax+ibx) = T(ax) + T(ibx) = aT(x) + bT(ix) = aT(x) + biT(x) = \alpha T(x) \]

定理 9.2 (线性算子有界的等价定义)

设 \(E\) 及 \(E_1\) 都是赋范线性空间，\(T\) 是由 \(E\) 的子空间 \(D\) 到 \(E_1\) 的线性算子。则 \(T\) 有界的充分必要条件是存在 \(M > 0\) 使得对一切 \(x \in D\)，有：

\[ \|Tx\| \le M\|x\| \]

定理 9.2 的证明（点击展开）

充分性：设 \(A \subset D\) 为任一有界集。则存在数 \(K\)，使得对一切 \(x \in A\) 有 \(\|x\| \le K\)。故当 \(x \in A\) 时，

\[ \|Tx\| \le M\|x\| \le MK \]

因此 \(T(A)\) 是 \(E_1\) 中的有界集，即 \(T\) 有界。

必要性：在 \(D\) 中取单位球面 \(S := \{x : \|x\| = 1, x \in D\}\)。因 \(S\) 有界，故 \(T(S)\) 也有界。于是存在正数 \(M > 0\) 使得当 \(x \in S\) 时，\(\|Tx\| \le M\)。

设 \(x\) 是 \(D\) 中任一非零元，则 \(\frac{x}{\|x\|} \in S\)。所以：

\[ \left\| T\left(\frac{x}{\|x\|}\right) \right\| \le M \]

由 \(T\) 的齐次性可知，

\[ \|Tx\| \le M\|x\| \]

当 \(x = \theta\) 时，不等式显然成立。证明完毕。 \(\square\)

定理 9.3 (有界性与连续性等价)

设 \(E\) 及 \(E_1\) 都是赋范线性空间，\(T\) 是由 \(E\) 的子空间 \(D\) 到 \(E_1\) 的线性算子。则下列性质等价：

(i) \(T\) 连续；

(ii) \(T\) 在原点 \(\theta\) 处连续；

(iii) \(T\) 有界。

定理 9.3 的证明（点击展开）

(i) \(\Rightarrow\) (ii)：显然成立。

(ii) \(\Rightarrow\) (iii)：因 \(T\) 在原点连续，故对 \(\epsilon=1\)，存在 \(\delta>0\)，使得对任给的 \(x \in D\) 当 \(\|x\| \le \delta\) 时，有：

\[ \|Tx\| = \|Tx - T\theta\| \le 1 \]

设 \(x\) 是 \(D\) 中任一非零元，则 \(\left\| \frac{\delta x}{\|x\|} \right\| = \delta \le \delta\)。所以：

\[ \left\| T\left(\frac{\delta x}{\|x\|}\right) \right\| \le 1 \]

由齐次性提出系数，即得：

\[ \|Tx\| \le \frac{1}{\delta}\|x\| \]

说明算子是有界的。

(iii) \(\Rightarrow\) (i)：设 \(x_n, x \in D\)，且 \(x_n \rightarrow x\)。因 \(T\) 有界，故：

\[ \|Tx_n - Tx\| = \|T(x_n - x)\| \le M\|x_n - x\| \rightarrow 0 \]

即 \(Tx_n \rightarrow Tx\)，这证明了连续性。

对线性算子来说，有界性、连续性以及在原点的连续性均相互等价。这些条件也与 \(T\) 在 \(D\) 中任一给定点 \(x_0\) 处的连续性等价。 \(\square\)

1.5 有界线性算子的范数

定义 9.3 (算子范数)

设 \(E\) 及 \(E_1\) 都是赋范线性空间，\(T\) 是由 \(E\) 的子空间 \(D\) 到 \(E_1\) 的有界线性算子。使得 \(\|Tx\| \le M\|x\|\) 对一切 \(x \in D\) 都成立的正数 \(M\) 的下确界称为 \(T\) 的范数，记为 \(\|T\|\)。

因 \(M\) 是集合 \(\{\frac{\|Tx\|}{\|x\|} : x \in D, x \ne \theta\}\) 的一个上界，因此算子 \(T\) 的范数 \(\|T\|\) 作为所有上界 \(M\) 的下确界，也是上述集合的最小上界（即上确界）。于是有：

\[ \|T\| = \sup_{x \in D, x \ne \theta} \frac{\|Tx\|}{\|x\|} \]

由此容易导出下列结论：

对一切 \(x \in D\)，有 \(\|Tx\| \le \|T\|\|x\|\)。
范数的其他等价计算形式：

\[ \|T\| = \sup_{x \in D, x \ne \theta} \left\| T\left(\frac{x}{\|x\|}\right) \right\| = \sup_{x \in D, \|x\|=1} \|Tx\| = \sup_{x \in D, \|x\| \le 1} \|Tx\| \]

算子的范数是刻画有界线性算子的一个重要的量。一般情形下求有界线性算子的范数是很困难的，下面我们通过几个例子说明如何估计或精确求出其范数。

1.6 算子范数的计算示例

示例 1：矩阵表示的线性算子

设 \((a_{ij})\) 为一给定的 \(n \times n\) 实方阵，由等式：

\[ \eta_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} \xi_j \]

定义了一个由 \(\mathbb{R}^n\) 到 \(\mathbb{R}^n\) 的算子 \(T : Tx = y\)。它将元素 \(x = (\xi_1, \dots, \xi_n)\) 映成元素 \(y = (\eta_1, \dots, \eta_n)\)。

在 \(\mathbb{R}^n\) 中取另一个向量 \(x' = (\xi_1', \dots, \xi_n')\)，易证 \(T(x+x') = Tx + Tx'\) 及 \(T(ax) = aTx\)，因此 \(T\) 是线性算子。

我们估计其有界性。由 Cauchy 不等式，有：

\[ \|Tx\|^2 = \sum_{i=1}^n \eta_i^2 = \sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n a_{ij} \xi_j\right)^2 \le \sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^n a_{ij}^2 \sum_{j=1}^n \xi_j^2 \right) \le \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}^2 \cdot \|x\|^2 \]

由此可得：

\[ \|T\| \le \left( \sum_{i,j=1}^n a_{ij}^2 \right)^{\frac{1}{2}} \]

因此算子连续且有界。

示例 2：Fourier 形式的积分算子

\(C(\mathbb{R})\)：定义在 \(\mathbb{R}\) 上有界连续函数构成的集，定义其范数为 \(\|y\| = \sup_{t \in \mathbb{R}} |y(t)|\)。则 \(C(\mathbb{R})\) 是一个 Banach 空间。

设 \(x \in L(\mathbb{R})\)（即可积函数空间）。令 \(y = Tx\)，且

\[ y(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{-ist} x(s) ds \]

\(T\) 是定义在 \(L(\mathbb{R})\) 上而值域包含在 \(C(\mathbb{R})\) 中的线性算子。由范数定义：

\[ |Tx(t)| = |y(t)| \le \int_{-\infty}^\infty |e^{-ist} x(s)| ds = \int_{-\infty}^\infty |x(s)| ds = \|x\| \]

所以 \(\|T\| \le 1\)。\(T\) 有界，因此连续。

示例 3：Lagrange 插值多项式

设 \(x \in C[a,b]\)，在 \([a,b]\) 中任取 \(n\) 个点 \(a \le t_1 < t_2 < \dots < t_n \le b\)，作多项式：

\[ l_k(t) = \frac{(t-t_1)\dots(t-t_{k-1})(t-t_{k+1})\dots(t-t_n)}{(t_k-t_1)\dots(t_k-t_{k-1})(t_k-t_{k+1})\dots(t_k-t_n)} \]

定义算子 \(y = L_n x = \sum_{k=1}^n x(t_k) l_k(t)\)。

则有：

\[ \|L_n x\| = \max_{t \in [a,b]} \left| \sum_{k=1}^n x(t_k) l_k(t) \right| \le \max_{t \in [a,b]} \sum_{k=1}^n |l_k(t)| \max_{t \in [a,b]} |x(t)| = \left( \max_{t \in [a,b]} \sum_{k=1}^n |l_k(t)| \right) \|x\| \]

令 \(\gamma := \max_{t \in [a,b]} \sum_{k=1}^n |l_k(t)|\)，则有 \(\|L_n\| \le \gamma\)。

另一方面，由于 \(\sum_{k=1}^n |l_k(t)|\) 在 \([a,b]\) 上连续，故存在 \(t_0 \in [a,b]\) 使得：

\[ \gamma = \sum_{k=1}^n |l_k(t_0)| \]

取 \(x_0 \in C[a,b]\) 满足 \(\|x_0\| = 1\) 且在各节点处 \(x_0(t_k) = \text{sgn}(l_k(t_0))\)，于是：

\[ \|L_n\| \ge \|L_n(x_0)\| \ge |L_n(x_0)(t_0)| = \left| \sum_{k=1}^n l_k(t_0) x_0(t_k) \right| = \left| \sum_{k=1}^n l_k(t_0) \text{sgn}(l_k(t_0)) \right| = \sum_{k=1}^n |l_k(t_0)| = \gamma \]

从而证明了精确范数 \(\|L_n\| = \gamma\)。

示例 4：含核积分算子

设 \(K(t,s)\) 是定义在 \(a \le t \le b\), \(a \le s \le b\) 上的连续函数。在空间 \(C[a,b]\) 上定义如下的积分算子：

\[ y(t) = Tx(t) = \int_a^b K(t,s) x(s) ds \]

则 \(T\) 为 \(C[a,b]\) 到其自身的有界线性算子，且范数满足：

\[ \|T\| = \gamma, \quad \gamma := \max_{t \in [a,b]} \int_a^b |K(t,s)| ds \]

上界的证明：

\[ \|Tx\| = \max_{t \in [a,b]} \left| \int_a^b K(t,s) x(s) ds \right| \le \max_{s \in [a,b]} |x(s)| \max_{t \in [a,b]} \int_a^b |K(t,s)| ds = \gamma \|x\| \]

即 \(\|T\| \le \gamma\)。

下界的证明：由于 \(\int_a^b |K(t,s)| ds\) 连续，存在 \(t_0\) 使其达到最大值 \(\gamma\)。取 \(\|\varphi\| = 1\)，

\[ \|T\| \ge \|T\varphi\| = \max_{t \in [a,b]} \left| \int_a^b K(t,s) \varphi(s) ds \right| \ge \left| \int_a^b K(t_0,s) \varphi(s) ds \right| \]

令 \(E_0 = \{s : K(t_0, s) \ge 0\}\)。作函数：

\[ \varphi_n(s) = \frac{1 - n d(s, E_0)}{1 + n d(s, E_0)} \]

其中 \(d(s, E_0)\) 为 \(s\) 与 \(E_0\) 的距离。则 \(\varphi_n\) 于 \([a,b]\) 上连续，且 \(|\varphi_n| \le 1\)。更进一步，\(\varphi_n|_{E_0} \equiv 1\)，且 \(\varphi_n|_{E_0^c} \rightarrow -1\)。

由 Lebesgue 控制收敛定理，当 \(n \rightarrow \infty\) 时：

\[ T\varphi_n(t_0) = \int_a^b K(t_0, s) \varphi_n(s) ds \rightarrow \int_a^b |K(t_0, s)| ds = \gamma \]

所以：

\[ \gamma = \lim_{n \rightarrow \infty} T\varphi_n(t_0) \le \lim_{n \rightarrow \infty} \|T\varphi_n\| \le \lim_{n \rightarrow \infty} \|T\|\|\varphi_n\| = \|T\| \]

即得 \(\|T\| \ge \gamma\)。

2. 线性算子空间

2.1 \(\mathbb{B}(E, E_1)\) 空间

我们将赋范线性空间 \(E\) 到赋范线性空间 \(E_1\) 的有界线性算子全体构成的集合记为 \(\mathbb{B}(E, E_1)\)。

定理 9.4

设 \(E\) 及 \(E_1\) 都是赋范线性空间，在 \(\mathbb{B}(E, E_1)\) 中定义线性运算如下：

加法：\((T + T')x = Tx + T'x\)
数乘：\((\alpha T)x = \alpha Tx\)

其中 \(T, T' \in \mathbb{B}(E, E_1)\)，\(\alpha\) 为数。那么 \(\mathbb{B}(E, E_1)\) 按照上述线性运算是一个线性空间。若以算子的范数作为其范数，则 \(\mathbb{B}(E, E_1)\) 是一个赋范线性空间。

定理 9.4 的证明（点击展开）

首先，按定义可知它是线性空间。需要验证算子范数满足范数的三大公理：

非负性： \(\|T\| = \sup_{\|x\|=1} \|Tx\| \ge 0\)。若 \(T = \theta\) (零算子)，显然有 \(\|T\| = 0\)。反之，若 \(\|T\| = 0\)，则对一切 \(x \in E\) 有 \(Tx = 0\)，故 \(T = \theta\)。
齐次性：

\[ \|\alpha T\| = \sup_{\|x\|=1} \|\alpha Tx\| = |\alpha| \sup_{\|x\|=1} \|Tx\| = |\alpha|\|T\| \]

三角不等式：

\[ \|T + T'\| = \sup_{\|x\|=1} \|(T + T')x\| = \sup_{\|x\|=1} \|Tx + T'x\| \le \sup_{\|x\|=1} (\|Tx\| + \|T'x\|) \le \sup_{\|x\|=1} \|Tx\| + \sup_{\|x\|=1} \|T'x\| \le \|T\| + \|T'\| \]

因此，这是一个赋范线性空间。 \(\square\)

注：我们将 \(\mathbb{B}(E, E)\) 简记为 \(\mathbb{B}(E)\)，代表 \(E\) 到其自身的有界线性算子全体。

2.2 按算子范数收敛 (一致算子拓扑)

设 \(T, T_n \in \mathbb{B}(E, E_1)\) (\(n=1,2,3,\dots\))。若 \(T_n\) 按 \(\mathbb{B}(E, E_1)\) 中的范数收敛于 \(T\)，即：

\[ \|T - T_n\| \rightarrow 0 \]

则称 \(T_n\) 按算子范数收敛于 \(T\)，或称 \(T_n\) 按一致算子拓扑收敛于 \(T\)。使用“按一致算子拓扑收敛”这一名称的原因在于下面的定理：

定理 9.5

设 \(T, T_n \in \mathbb{B}(E, E_1)\)。\(T_n\) 按算子范数收敛于 \(T\) 的充分必要条件是：\(\{T_n\}\) 在 \(E\) 中的任一有界集上一致收敛于 \(T\)。

定理 9.5 的证明（点击展开）

必要性：设 \(A \subset E\) 为有界集。则存在正数 \(K > 0\)，使得当 \(x \in A\) 时，\(\|x\| \le K\)。故：

\[ \|Tx - T_nx\| \le \|T - T_n\|\|x\| \le K\|T - T_n\| \]

因为 \(\|T - T_n\| \rightarrow 0\)，则任给 \(\epsilon > 0\)，存在 \(N > 0\)，使得当 \(n > N\) 时，\(\|T - T_n\| < \epsilon/K\)。代入上式得：

\[ \|Tx - T_nx\| \le \epsilon \]

这对于所有的 \(x \in A\) 是一致成立的。故 \(\{T_n\}\) 在 \(A\) 上一致收敛于 \(T\)。

充分性：设 \(\{T_n\}\) 在 \(E\) 中的任一有界集上一致收敛于 \(T\)。取 \(E\) 中的单位球面 \(S = \{x : \|x\| = 1, x \in E\}\)。根据假定，对任给的 \(\epsilon > 0\)，存在 \(N > 0\)，使得当 \(n > N\) 时，不等式：

\[ \|Tx - T_nx\| \le \epsilon \]

对于所有的 \(x \in S\) 一致地成立。于是：

\[ \|T - T_n\| = \sup_{\|x\|=1} \|Tx - T_nx\| \le \epsilon \]

故 \(\{T_n\}\) 按算子范数收敛于 \(T\)。 \(\square\)

2.3 \(\mathbb{B}(E, E_1)\) 空间的完备性

算子空间本身的完备性由目标空间的完备性决定。

定理 9.6

设 \(E_1\) 是 Banach 空间，则算子空间 \(\mathbb{B}(E, E_1)\) 也是 Banach 空间。

定理 9.6 的证明（点击展开）

设 \(\{T_n\}\) 是 \(\mathbb{B}(E, E_1)\) 中的 Cauchy 列。则对任给的 \(\epsilon > 0\)，存在 \(N > 0\)，使得当 \(m, n > N\) 时：

\[ \|T_m - T_n\| < \epsilon \]

任取 \(x \in E\)，考察序列 \(\{T_n x\}\)：

\[ \|T_mx - T_nx\| \le \|T_m - T_n\|\|x\| \le \epsilon\|x\| \]

故对于固定的 \(x\)，序列 \(\{T_n x\}\) 是 \(E_1\) 中的 Cauchy 列。因 \(E_1\) 是完备的，故 \(\{T_n x\}\) 在 \(E_1\) 中收敛于某一元素 \(y\)。于是可以定义点态极限算子 \(T\)：

\[ Tx = \lim_{n \rightarrow \infty} T_nx = y \]

接下来我们需要证明 \(T\) 属于 \(\mathbb{B}(E, E_1)\)，且 \(T_n \to T\) 是依范数收敛的。

1. 线性性：

\[ T(ax+by) = \lim_{n \rightarrow \infty} T_n(ax+by) = \lim_{n \rightarrow \infty} (aT_nx + bT_ny) = aTx + bTy \]

2. 有界性及算子范数收敛：在前面的 Cauchy 列条件 \(\|T_mx - T_nx\| \le \epsilon\|x\|\) 中，令 \(m \rightarrow \infty\)，由范数的连续性可得，对于所有的 \(n > N\)：

\[ \|Tx - T_nx\| \le \epsilon\|x\| \]

这说明 \(T - T_n\) 是有界算子，即 \(T - T_n \in \mathbb{B}(E, E_1)\)。既然 \(T_n\) 是有界的，从而 \(T = (T - T_n) + T_n\) 必然也是有界线性算子，故 \(T \in \mathbb{B}(E, E_1)\)。

同时这也表明，当 \(n > N\) 时：

\[ \|T - T_n\| \le \epsilon \]

故 \(\{T_n\}\) 按算子范数收敛于 \(T\)。由此可知，\(\mathbb{B}(E, E_1)\) 中任一基本点列必有极限，因此它是完备的 Banach 空间。 \(\square\)

2.4 不按算子范数收敛的例子

虽然点态收敛可以定义一个极限算子，但点态收敛并不蕴含算子范数收敛。

在 \(l^p\) 空间中定义截断位移算子 \(T_n\)：

\[ T_n x = x_n \]

其中输入向量为 \(x = (\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n, \dots) \in l^p\)，截断输出向量为 \(x_n = (\xi_n, \xi_{n+1}, \dots) \in l^p\)（这里符号根据讲义上下文，即截断前 \(n-1\) 项）。

\(T_n\) 是有界线性算子，且 \(\|T_nx\|_p \le \|x\|_p\)。对任意给定的 \(x \in l^p\)，由于级数 \(\sum |\xi_k|^p\) 收敛，其尾部必然趋于 0，有 \(\|x_n\|_p \rightarrow 0\)。因此在逐点意义下：

\[ \lim_{n \rightarrow \infty} T_n x = \theta \]

（即算子列点态收敛于零算子）。

然而，考察算子范数 \(\|T_n\|\)。取特定单位向量：

\[ y_n = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots) \quad \text{（第 } n \text{ 个位置为 1）} \]

则 \(T_n y_n = (1, 0, \dots)\)。故：

\[ \|T_n\| \ge \|T_n y_n\|_p = 1 \]

所以 \(\|T_n\| = 1\)。这说明 \(\|T_n - 0\| = 1 \not\rightarrow 0\)。

因此，序列 \(\{T_n\}\) 不按算子范数收敛于零算子。