第六章：闭包、连续性与同胚
在前面建立了拓扑空间与开集的基础后，本章我们将进一步探讨拓扑空间中点与集合的联系（如闭包与极限点），并深入研究连接不同拓扑空间的桥梁——连续映射。我们还将介绍拓扑学中最核心的等价分类标准：同胚。最后，我们将推广乘积空间的概念，对比箱拓扑与乘积拓扑的区别。
1. 闭包与极限点 (Closure and Limit Points)
在第五章中，我们通过包含集合的最小闭集定义了闭包。在这里，我们通过“邻域相交”给出闭包更为直观的点集判定准则。
1.1 闭包的邻域判定
命题 6.1 (闭包的点集刻画)
设 \(A \subseteq X\) 是拓扑空间 \(X\) 中的子集。
- (1) 点 \(x \in \overline{A}\)，当且仅当包含 \(x\) 的每一个开集 \(U\) 都与 \(A\) 有交集，即 \(U \cap A \neq \emptyset\)。
- (2) 如果 \(\mathcal{B}\) 是拓扑 \(\tau\) 的一个基，那么 \(x \in \overline{A}\) 当且仅当对于任意包含 \(x\) 的基元素 \(B \in \mathcal{B}\)，都有 \(B \cap A \neq \emptyset\)。
命题 6.1 的证明
充分性 (If)：假设存在一个包含 \(x\) 的开集 \(U\)，使得 \(U \cap A = \emptyset\)。 这意味着 \(A \subseteq X \setminus U\)。由于 \(U\) 是开集，其补集 \(X \setminus U\) 是一个包含 \(A\) 的闭集。 根据闭包是“包含 \(A\) 的最小闭集”的定义，必有 \(\overline{A} \subseteq X \setminus U\)。 又因为 \(x \in U\)，所以 \(x \notin X \setminus U\)，进而推导出 \(x \notin \overline{A}\)。这证明了原命题的逆否命题。
必要性 (Only if)：假设 \(x \notin \overline{A}\)，令 \(U = X \setminus \overline{A}\)。由于 \(\overline{A}\) 是闭集，\(U\) 是一个包含 \(x\) 的开集。 显然，\(U \cap \overline{A} = \emptyset\)，因此 \(U \cap A = \emptyset\)。这也证明了反向的逆否命题。 \(\square\)
1.2 极限点 (聚点)
在微积分中，极限反映了序列逼近某一点的趋势。在一般拓扑中，这种逼近被抽象为“极限点”。
定义 6.1 (极限点 / 聚点 Limit Point / Cluster Point)
设 \(A \subseteq X\)。点 \(x\) 被称为集合 \(A\) 的极限点，如果对于任意一个包含 \(x\) 的开集 \(U\)，都有：
换句话说，每一个包含 \(x\) 的开集都必须包含 \(A\) 中异于 \(x\) 本身的至少一个点。
我们将集合 \(A\) 在 \(X\) 中的所有极限点构成的集合记为 \(LP(A)\)（通常也记作导集 \(A'\)）。
闭包与极限点之间存在直接联系：\(\overline{A} = A \cup LP(A)\)。
示例：
-
在实数空间 \(\mathbb{R}\)（赋予标准拓扑）中，设 \(A = \{\frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}_{\ge 1}\}\)。虽然 \(0 \notin A\)，但 \(0\) 是 \(A\) 的唯一极限点，即 \(LP(A) = \{0\}\)，且 \(\overline{A} = A \cup \{0\}\)。
-
设 \(X = \{a, b, c\}\) 且赋予拓扑 \(\tau = \{\emptyset, X, \{a\}\}\)。对于子集 \(A = \{a\}\)，其闭包 \(\overline{A} = X\)，极限点集 \(LP(A) = \{b, c\}\)。
2. 连续性 (Continuity)
映射的连续性是拓扑学最核心的研究对象。拓扑学摒弃了度量空间中对具体数值差（\(\epsilon-\delta\)）的依赖，将连续性纯粹建立在开集的拉回（原像）上。
定义 6.2 (连续映射)
设 \(f: X \to Y\) 是拓扑空间之间的映射。
- (1) 局部连续性：映射 \(f\) 在点 \(x_0 \in X\) 处是连续的，如果对于包含像点 \(f(x_0)\) 的任意开集 \(V \subseteq Y\)，必定存在 \(X\) 中包含 \(x_0\) 的某个开集 \(U\)，满足 \(U \subseteq f^{-1}(V)\)（即 \(f(U) \subseteq V\)）。
- (2) 全局连续性：映射 \(f\) 在整个 \(X\) 上是连续的，当且仅当它在 \(X\) 中的每一个点都连续。
下面的引理给出了判定全局连续性的等价刻画，它们在后续的证明中被极其频繁地使用。
引理 6.1 (连续性的等价刻画)
对于映射 \(f: X \to Y\)，以下四个命题是等价的 (TFAE)：
- (i) \(f\) 是连续映射。
- (ii) 对于 \(Y\) 中的任意开集 \(V\)，其原像 \(f^{-1}(V)\) 在 \(X\) 中也是开集（“开集的原像是开集”）。
- (iii) 对于任意子集 \(A \subseteq X\)，恒有 \(f(\overline{A}) \subseteq \overline{f(A)}\)。
- (iv) 对于 \(Y\) 中的任意闭集 \(B\)，其原像 \(f^{-1}(B)\) 在 \(X\) 中也是闭集（“闭集的原像是闭集”）。
引理 6.1 的证明
证明 (i) \(\implies\) (ii)：设 \(V\) 为 \(Y\) 中的开集。任取 \(x \in f^{-1}(V)\)，此时 \(f(x) \in V\)。因为 \(f\) 连续，存在包含 \(x\) 的开集 \(U_x\) 使得 \(U_x \subseteq f^{-1}(V)\)。因此，\(f^{-1}(V)\) 可以表示为所有这些 \(U_x\) 的并集：
由于任意多个开集的并集仍是开集，故 \(f^{-1}(V)\) 是开集。
证明 (ii) \(\implies\) (iv)：设 \(B \subseteq Y\) 为闭集。则 \(Y \setminus B\) 是开集。由于映射的原像运算与补集运算可交换，即 \(f^{-1}(Y \setminus B) = X \setminus f^{-1}(B)\)。根据 (ii)，这是 \(X\) 中的开集。因此 \(f^{-1}(B)\) 必定是闭集。
证明 (iv) \(\implies\) (iii)：任给 \(A \subseteq X\)。由于闭包 \(\overline{f(A)}\) 是 \(Y\) 中的闭集，根据 (iv)，\(f^{-1}(\overline{f(A)})\) 是 \(X\) 中的闭集。 显然有 \(A \subseteq f^{-1}(f(A)) \subseteq f^{-1}(\overline{f(A)})\)。因为 \(f^{-1}(\overline{f(A)})\) 是一个包含 \(A\) 的闭集，根据闭包是最小闭集的性质，必然有 \(\overline{A} \subseteq f^{-1}(\overline{f(A)})\)。 两边同时作用 \(f\)，即可得到 \(f(\overline{A}) \subseteq \overline{f(A)}\)。 (证明 (iii) \(\implies\) (i) 与 (ii) \(\iff\) (i) 类似，构成逻辑闭环)。 \(\square\)
注记： 1. 恒等映射 \(id: X \to X\) 总是连续的。 2. 对于包含映射（Inclusion map），如果子集 \(A \subseteq X\) 赋予了子空间拓扑 \(\tau_A\)（使得包含映射连续的最弱拓扑），则它必定是连续的。
3. 同胚 (Homeomorphism)
在拓扑学眼中，如果两个空间可以通过连续的形变（不撕裂、不粘合）相互转化，那么它们在拓扑结构上就是完全相同的。这种“拓扑等价”通过同胚来精确定义。
定义 6.3 (同胚)
设 \(f: X \to Y\) 为一个映射。如果它满足以下三个条件，则称 \(f\) 为一个同胚 (Homeomorphism)：
- (i) \(f\) 是双射（即既单又满，保证了两空间点与点之间的一一对应）。
- (ii) \(f\) 是连续的。
- (iii) \(f\) 的逆映射 \(f^{-1}\) 也是连续的。
如果存在从 \(X\) 到 \(Y\) 的同胚映射，我们就称拓扑空间 \(X\) 与 \(Y\) 是同胚的，记作 \(X \cong Y\)。
示例与反例：
- 开区间 \((-\pi/2, \pi/2)\) 与整个实数轴 \(\mathbb{R}\) 是同胚的（例如通过正切函数 \(f(x) = \tan(x)\) 实现）。
- 考虑半开半闭区间 \([0, 1)\) 与单位圆周 \(S^1\)。我们可以构造一个双射映射 \(f: [0, 1) \to S^1\)，例如 \(f(t) = (\cos(2\pi t), \sin(2\pi t))\)。这个映射显然是连续的，并且是双射。但是，它的逆映射 \(f^{-1}: S^1 \to [0, 1)\) 在点 \((1, 0)\) 处是不连续的（圆周上的点逼近 \((1, 0)\) 时，在 \([0,1)\) 中分别逼近 \(0\) 和 \(1\)，导致撕裂）。因此，该映射不是同胚映射！实际上，紧致空间 \(S^1\) 绝不可能与非紧空间 \([0, 1)\) 同胚。
4. 无穷乘积：箱拓扑与乘积拓扑 (Box vs Product Topology)
在第五章中，我们讨论了两个空间的有限乘积。现在我们将其推广到任意无穷多个拓扑空间族的笛卡尔积。对于无穷乘积，存在两种极为不同的自然拓扑构造方式。
设 \((X_i, \tau_i)_{i \in I}\) 是一族拓扑空间（指标集 \(I\) 可以是无穷集）。我们考虑它们的笛卡尔积 \(\prod_{i \in I} X_i\)。
4.1 箱拓扑 (Box Topology)
定义 6.4 (箱拓扑)
箱拓扑 (Box Topology) \(\tau_b\) 是由以下基 \(\mathcal{B}_b\) 生成的拓扑：
也就是说，箱拓扑的基元素在每一个分量上都受限于对应的开集 \(U_i\)。
4.2 乘积拓扑 (Product Topology)
定义 6.5 (乘积拓扑/Tychonoff拓扑)
乘积拓扑 (Product Topology) \(\tau_p\) 是由以下基 \(\mathcal{B}_p\) 生成的拓扑：
这里“几乎所有的 \(i\)”意味着，除了有限个例外的分量之外，其余所有分量都必须取全空间 \(X_i\) 本身。
两者的对比： 显然，基 \(\mathcal{B}_p\) 完全包含在 \(\mathcal{B}_b\) 之中。因此，箱拓扑比乘积拓扑更精细（含有更多的开集），即 \(\tau_b \ge \tau_p\)。 当指标集 \(I\) 是有限集时，这两者完全等价（\(\tau_b = \tau_p\)）。但在无限乘积中，箱拓扑由于开集太多，经常导致诸多拓扑性质（如连通性、紧致性）失效，因此在现代数学中，我们默认使用的乘积空间拓扑皆为乘积拓扑 \(\tau_p\)。
4.3 乘积拓扑的泛性质 (Universal Property)
为什么乘积拓扑 \(\tau_p\) 比箱拓扑更为重要？因为乘积拓扑恰好是保证所有自然投影映射连续的“最低代价”。
定义第 \(i\) 个坐标的投影映射 \(p_i: \prod_{j \in I} X_j \to X_i\)，其作用是取出序列中第 \(i\) 个位置的元素。
命题 6.2
乘积拓扑 \(\tau_p\) 是使得所有投影映射 \(p_i\) 均连续的最小（最粗糙）拓扑。
命题 6.2 的证明
1. 证明 \(p_i\) 在 \(\tau_p\) 下是连续的： 设 \(U_i \in \tau_i\) 是 \(X_i\) 中的任意开集。 考虑它在投影映射 \(p_i\) 下的原像：
根据乘积拓扑的基定义，该集合在除了 \(i\) 之外的所有分量上都是全空间 \(X_j\)（仅在有限个，即 1 个分量上受限）。因此它本身就是 \(\mathcal{B}_p\) 中的一个基元素，自然是 \(\tau_p\) 中的开集。这就证明了所有 \(p_i\) 都是连续的。
2. 证明 \(\tau_p\) 是使得 \(p_i\) 连续的最粗糙拓扑： 假设 \(\mathcal{T}\) 是赋予在笛卡尔积上的另一个拓扑，并且要求在 \(\mathcal{T}\) 下所有的投影映射 \(p_i\) 都是连续的。 既然 \(p_i\) 连续，对于任意 \(U_i \in \tau_i\)，其原像 \(p_i^{-1}(U_i)\) 必须属于拓扑 \(\mathcal{T}\)。 我们考察乘积拓扑 \(\tau_p\) 的任意一个基元素 \(B \in \mathcal{B}_p\)。根据定义，\(B\) 在有限个分量 \(i_1, i_2, \dots, i_k\) 上是开集 \(U_{i_m}\)，而在其余分量上是全空间。因此 \(B\) 可以写成这些有限个原像的交集：
由于拓扑 \(\mathcal{T}\) 必须包含所有这些原像集合，且拓扑结构对有限交封闭，因此必然有 \(B \in \mathcal{T}\)。 既然 \(\tau_p\) 的每一个基元素都包含在 \(\mathcal{T}\) 中，那么由基生成的整个乘积拓扑也必然包含在 \(\mathcal{T}\) 中，即 \(\tau_p \subseteq \mathcal{T}\)。这就证明了 \(\tau_p\) 的极小性。 \(\square\)