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1.3 Lebesgue-Stieltjes 测度与 Lebesgue 测度

在前面两节中，我们建立了从外测度到测度空间的抽象扩张理论。本节我们将该理论应用到实数集 \(\mathbb{R}\) 上，通过单调增函数构造一类极其重要的 Borel 测度，即 Lebesgue-Stieltjes 测度，并由此引出分析学的基础——Lebesgue 测度。

1. 分布函数与 Borel 测度

在 \(\mathbb{R}\) 的 Borel \(\sigma\)-代数 \(\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\) 上定义的测度称为 Borel 测度。如果该测度在任何有界区间上取值有限，则它与一类特殊的实函数——分布函数一一对应。

定义 1.3.1 (分布函数 Distribution Function)

设 \(F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 为一个函数。如果 \(F\) 满足以下性质，则称其为分布函数：

  • 单调性：\(F\) 是单调递增的，即若 \(x \le y\)，则 \(F(x) \le F(y)\)。

  • 右连续性：对于任意 \(x_0 \in \mathbb{R}\)，\(F(x_0^+) = \lim_{x \to x_0^+} F(x) = F(x_0)\)。

通过分布函数，我们可以定义半开区间上的测度值为：

\[ \mu((a, b]) = F(b) - F(a) \]

2. Lebesgue-Stieltjes 测度的构造

构造的第一步是在一个代数上定义预测度。令 \(\mathcal{A}\) 是由所有形如 \((a, b]\) 的半开区间（包括 \((a, \infty)\) 和 \((-\infty, b]\)）的有限不相交并组成的族。易证 \(\mathcal{A}\) 是一个代数。

定理 1.3.1 (预测度的建立)

给定分布函数 \(F\)，在代数 \(\mathcal{A}\) 上定义集函数 \(\mu_0\)：

\[ \mu_0\left( \bigcup_{j=1}^n (a_j, b_j] \right) = \sum_{j=1}^n [F(b_j) - F(a_j)] \]

则 \(\mu_0\) 是 \(\mathcal{A}\) 上的一个预测度。

定理 1.3.1 的证明要点

证明预测度的核心在于验证可数可加性。设 \(I = (a, b]\) 且 \(I = \bigcup_{j=1}^\infty I_j\)，其中 \(I_j = (a_j, b_j]\) 为互不相交的区间。

1. 有限可加性：

利用 \(F\) 的单调性，容易证明对于有限项并集，\(\mu_0\) 是可加的。对于 \(n\) 项并集，通过对端点的整理即可得到 \(\mu_0(\cup_{j=1}^n I_j) = \sum_{j=1}^n \mu_0(I_j)\)。

2. 可数可加性的证明 (有限覆盖原理)：

  • 不等式一：由于有限并包含在可数并中，由单调性可知 \(\mu_0(I) \ge \sum_{j=1}^n \mu_0(I_j)\)，令 \(n \to \infty\) 得 \(\mu_0(I) \ge \sum_{j=1}^\infty \mu_0(I_j)\)。

  • 不等式二：任取 \(\epsilon > 0\)。由于 \(F\) 是右连续的，对于 \(I = (a, b]\)，存在 \(\delta > 0\) 使得 \(F(a+\delta) - F(a) < \epsilon\)，从而紧集 \(K = [a+\delta, b] \subset (a, b]\)。

  • 对于每个 \(I_j = (a_j, b_j]\)，存在 \(\delta_j > 0\) 使得 \(F(b_j+\delta_j) - F(b_j) < \epsilon / 2^j\)，从而开区间 \(O_j = (a_j, b_j+\delta_j) \supset (a_j, b_j]\)。

  • 由于紧集 \(K\) 被开区间族 \(\{O_j\}\) 覆盖，由 Heine-Borel 定理，存在有限个区间 \(O_{j_1}, \dots, O_{j_N}\) 覆盖 \(K\)。利用有限可加性的性质并令 \(\epsilon \to 0\)，最终证得 \(\mu_0(I) \le \sum_{j=1}^\infty \mu_0(I_j)\)。

定理 1.3.2 (Lebesgue-Stieltjes 测度扩张)

由预测度 \(\mu_0\) 诱导出的外测度 \(\mu_F^*\) 限制在 Carathéodory 可测集族 \(\mathcal{M}_F\) 上得到的测度称为 Lebesgue-Stieltjes 测度。由扩张的唯一性定理，若 \(F\) 确定，该测度在 Borel \(\sigma\)-代数上的限制是唯一的。

3. 正则性与近似定理

Lebesgue-Stieltjes 测度具有良好的拓扑逼近性质，这使得我们可以用结构简单的开集或紧集来研究复杂的测度集。

定理 1.3.3 (正则性 Regularity)

对于任何 \(E \in \mathcal{M}_F\)，其测度满足：

  • 外正则性：\(\mu_F(E) = \inf \{ \mu_F(U) : E \subset U, U \text{ 为开集} \}\)。

  • 内正则性：\(\mu_F(E) = \sup \{ \mu_F(K) : K \subset E, K \text{ 为紧集} \}\)。

由此推论，任何可测集 \(E\) 具有以下结构描述：

  • \(G_\delta\) 逼近：存在 \(G_\delta\) 集 \(V\)（可数个开集的交）使得 \(E \subset V\) 且 \(\mu_F(V \setminus E) = 0\)。

  • \(F_\sigma\) 逼近：存在 \(F_\sigma\) 集 \(H\)（可数个闭集的并）使得 \(H \subset E\) 且 \(\mu_F(E \setminus H) = 0\)。

4. Lebesgue 测度 (Lebesgue Measure)

当分布函数取恒等函数，即 \(F(x) = x\) 时，所得到的测度即为经典的 Lebesgue 测度。

定义 1.3.2 (Lebesgue 测度)

由 \(F(x) = x\) 诱导的测度空间 \((\mathbb{R}, \mathcal{L}, m)\) 称为 Lebesgue 测度空间。对于任何半开区间 \((a, b]\)，其测度恰好等于其几何长度：

\[ m((a, b]) = b - a \]

Lebesgue 测度的不变性性质

Lebesgue 测度与实数的加法和数乘结构相容，展现出极好的对称性。

定理 1.3.4 (平移与伸缩不变性)

设 \(E\) 为 Lebesgue 可测集，对于任何 \(s, r \in \mathbb{R}\)：

  • 平移不变性：\(m(E+s) = m(E)\)，其中 \(E+s = \{x+s : x \in E\}\)。

  • 伸缩性质：\(m(rE) = |r|m(E)\)，其中 \(rE = \{rx : x \in E\}\)。

5. Cantor 集与 Cantor 函数

Cantor 集是测度论中讨论“大小”与“势”最著名的反例。

定义 1.3.3 (Cantor 三分集)

从闭区间 \([0, 1]\) 出发，第一步挖去中间的开区间 \((\frac{1}{3}, \frac{2}{3})\)，第二步挖去剩下两段中间的各三分之一，如此无限循环。最终剩下的点集 \(C\) 称为 Cantor 集。

Cantor 集的性质

  • 零测性：Cantor 集的测度为 0。因为挖去的区间总长度为：
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n-1}}{3^n} = \frac{1/3}{1-2/3} = 1 \]

  • 不可数性：虽然测度为 0，但 Cantor 集的势与 \([0, 1]\) 相同，即基数为 \(c\)。

  • 拓扑性质：\(C\) 是紧集、无处稠密、且没有孤立点（完美集）。

Cantor 函数 (Cantor Function / Devil's Staircase)

基于 Cantor 集的构造，可以定义一个连续单调函数 \(f: [0, 1] \to [0, 1]\)：

  • \(f(x)\) 在 Cantor 集的补集（挖去的区间）上是常数。

  • \(f(0) = 0, f(1) = 1\)。

  • \(f'(x) = 0\) 几乎处处成立，但函数却是连续增长的。这说明了“几乎处处导数为 0”并不一定意味着函数是常数。

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