2.2 可测函数序列的极限与分解
5. 复可测函数与广义实值函数
对于复值函数 \(f: X \to \mathbb{C}\)，我们利用复平面作为 \(\mathbb{R}^2\) 的积空间拓扑结构，即 \(\mathcal{B}_{\mathbb{C}} = \mathcal{B}_{\mathbb{R}} \otimes \mathcal{B}_{\mathbb{R}}\)。
命题 2.1.4 (复可测性)
复值函数 \(f\) 是可测的，当且仅当其实部 \(\text{Re } f\) 和虚部 \(\text{Im } f\) 都是实可测函数。
在测度论中，我们经常允许函数取值 \(\pm \infty\)。定义广义实数集 \(\bar{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}\)，其 Borel \(\sigma\)-代数定义为：
若 \(f\) 为广义实可测函数，我们通常约定 \(0 \cdot \infty = 0\) 且避免无意义的 \(\infty - \infty\)。
6. 代数运算与序列的极限
可测函数在各种运算和取极限操作下具有完美的封闭性。
定理 2.1.3 (代数运算的封闭性)
设 \(f, g: X \to \mathbb{C}\) 是可测函数，则 \(f+g\) 和 \(f \cdot g\) 都是可测函数。
定理 2.1.3 的证明
我们定义映射 \(F(x) = (f(x), g(x)): X \to \mathbb{C} \times \mathbb{C}\)。 由于 \(f, g\) 均可测，根据积空间可测性（命题 2.1.3），联合映射 \(F\) 是可测的。 又因为复数加法映射 \(S: \mathbb{C} \times \mathbb{C} \to \mathbb{C}\)，即 \(S(z, w) = z + w\) 是连续映射，因此是 Borel 可测的。 根据复合性质，\(f+g = S \circ F\) 必定是可测的。同理可证乘法 \(f \cdot g\) 的可测性。
定理 2.1.4 (函数列的上/下确界与极限)
设 \(\{f_j\}_{j=1}^\infty\) 为一列定义在 \(X\) 上的广义实值可测函数，则以下函数也是可测的：
- \(g_1(x) = \sup_{j} f_j(x)\)
- \(g_2(x) = \inf_{j} f_j(x)\)
- \(g_3(x) = \limsup_{j \to \infty} f_j(x)\)
- \(g_4(x) = \liminf_{j \to \infty} f_j(x)\)
定理 2.1.4 的证明
我们仅证明上确界 \(\sup_j f_j\) 的可测性，其余可由代数关系推导。 对于任意 \(a \in \mathbb{R}\)，观察集合 \(\{x : \sup_j f_j(x) > a\}\)。 上确界大于 \(a\)，当且仅当数列中至少存在某一项大于 \(a\)。因此：
由于每个 \(f_j\) 都是可测的，等式右侧的每一个集合 \(\{x : f_j(x) > a\}\) 都在 \(\mathcal{M}\) 中。因为 \(\mathcal{M}\) 对可数并封闭，所以上确界函数 \(g_1\) 满足可测的等价条件（命题 2.1.2(b)），故可测。
其余证明： \(\inf_j f_j = -\sup_j (-f_j)\)，由代数运算与 \(\sup\) 的可测性即得。 由于 \(\limsup_{j \to \infty} f_j = \inf_{k \ge 1} (\sup_{j \ge k} f_j)\)，经过一次可列 \(\sup\) 和一次可列 \(\inf\) 运算，自然保持可测性。\(\liminf\) 同理。
推论 (正负部与极分解)
对于任何实可测函数 \(f\)，我们可以将其分解为正部与负部：
- 正部：\(f^+ = \max(f, 0)\)
- 负部：\(f^- = \max(-f, 0)\)
- 此时有 \(f = f^+ - f^-\) 且 \(|f| = f^+ + f^-\)。这两个函数同样是可测的。
对于复可测函数，我们可以进行极分解（符号分解）：
其中 \(\text{sgn } z = z/|z|\) 当 \(z \ne 0\)，否则为 0。\(\text{sgn } f\) 和 \(|f|\) 同样是可测函数。