3.3 乘积测度与 Fubini 定理

在建立了一维（或单一抽象空间）的积分理论之后，我们自然需要将积分推广到多维或多个空间的乘积上（如从单变量积分过渡到重积分）。这就需要引入乘积测度的概念，并解决一个核心问题：重积分是否可以化为累次积分计算？ 以及 积分的顺序是否可以交换？

这正是著名的 Tonelli 定理和 Fubini 定理所要回答的问题。在整个讨论中，我们默认涉及的测度空间都是 \(\sigma\)-有限的 ( \(\sigma\)-finite )。

1. 乘积可测空间与截面

为了在乘积空间 \(X \times Y\) 上定义测度，我们首先需要建立其上的 \(\sigma\)-代数。最基本的构造单元是“可测长方形”。

定义 3.3.1 (可测长方形与乘积 \(\sigma\)-代数)

设 \((X, \mathcal{M})\) 和 \((Y, \mathcal{N})\) 为两个可测空间。称集合 \(A \times B\) 为一个可测长方形，如果 \(A \in \mathcal{M}\) 且 \(B \in \mathcal{N}\)。

由所有可测长方形构成的集族生成了 \(X \times Y\) 上的乘积 \(\sigma\)-代数，记为：

\[ \mathcal{M} \otimes \mathcal{N} = \sigma(\{A \times B \mid A \in \mathcal{M}, B \in \mathcal{N}\}) \]

在处理二元函数和二元集合时，固定其中一个变量所得到的“截面”是重要的研究对象。

定义 3.3.2 (集合与函数的截面 Section)

对于 \(E \subset X \times Y\)，固定 \(x \in X\) 或 \(y \in Y\)，定义其集合截面为：

\(x\)-截面：\(E_x = \{y \in Y \mid (x, y) \in E\} \subset Y\)
\(y\)-截面：\(E^y = \{x \in X \mid (x, y) \in E\} \subset X\)

对于定义在 \(X \times Y\) 上的函数 \(f(x, y)\)，定义其函数截面为：

\(f_x(y) = f(x, y)\) （视为定义在 \(Y\) 上的函数）
\(f^y(x) = f(x, y)\) （视为定义在 \(X\) 上的函数）

定理 3.3.1 (截面的可测性)

如果 \(E \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}\)，那么对于所有的 \(x \in X\) 和 \(y \in Y\)，都有 \(E_x \in \mathcal{N}\) 且 \(E^y \in \mathcal{M}\)。

如果 \(f\) 是 \(X \times Y\) 上的 \(\mathcal{M} \otimes \mathcal{N}\)-可测函数，那么 \(f_x\) 是 \(\mathcal{N}\)-可测的，\(f^y\) 是 \(\mathcal{M}\)-可测的。

集合截面可测性的证明

我们以 \(E_x \in \mathcal{N}\) 的证明为例。构造集族：

\[ \mathcal{R} = \{E \subset X \times Y \mid E_x \in \mathcal{N}\} \]

首先，如果 \(E = A \times B\) 是一个可测长方形，那么当 \(x \in A\) 时 \(E_x = B \in \mathcal{N}\)；当 \(x \notin A\) 时 \(E_x = \emptyset \in \mathcal{N}\)。因此，所有可测长方形都在 \(\mathcal{R}\) 中。

其次，我们需要验证 \(\mathcal{R}\) 是一个 \(\sigma\)-代数。

对补集封闭：\((E^c)_x = (E_x)^c\)。因为 \(\mathcal{N}\) 是 \(\sigma\)-代数，如果 \(E_x \in \mathcal{N}\)，则 \((E_x)^c \in \mathcal{N}\)，故 \(E^c \in \mathcal{R}\)。
对可数并封闭：\((\bigcup_{j=1}^\infty E_j)_x = \bigcup_{j=1}^\infty (E_j)_x\)。同样由 \(\mathcal{N}\) 的封闭性可知并集也在 \(\mathcal{R}\) 中。

既然 \(\mathcal{R}\) 是一个包含所有可测长方形的 \(\sigma\)-代数，而 \(\mathcal{M} \otimes \mathcal{N}\) 是包含可测长方形的最小 \(\sigma\)-代数，必然有 \(\mathcal{M} \otimes \mathcal{N} \subset \mathcal{R}\)。定理得证。

2. 单调类定理 (Monotone Class Theorem)

在证明乘积测度的性质时，由于 \(\sigma\)-代数非常复杂，我们往往先在代数上证明，然后通过“单调类定理”将其推广到整个 \(\sigma\)-代数。这是一个极其强大的证明工具。

定义 3.3.3 (单调类 Monotone Class)

设 \(\mathcal{C} \subset 2^X\) 为一集族。如果 \(\mathcal{C}\) 满足以下条件，则称为单调类：

对于递增集列 \(E_1 \subset E_2 \subset \dots\)，若 \(E_j \in \mathcal{C}\)，则 \(\bigcup_{j=1}^\infty E_j \in \mathcal{C}\)。
对于递减集列 \(E_1 \supset E_2 \supset \dots\)，若 \(E_j \in \mathcal{C}\)，则 \(\bigcap_{j=1}^\infty E_j \in \mathcal{C}\)。

显然，任何 \(\sigma\)-代数都是单调类。反之，一个既是代数又是单调类的集族，必定是 \(\sigma\)-代数。

定理 3.3.2 (单调类定理)

设 \(\mathcal{A}\) 为一个代数。如果 \(\mathcal{C}\) 是包含 \(\mathcal{A}\) 的单调类，那么 \(\mathcal{C}\) 必定包含由 \(\mathcal{A}\) 生成的 \(\sigma\)-代数，即：

\[ \sigma(\mathcal{A}) \subset \mathcal{C} \]

3. 乘积测度的构造

现在我们可以定义两个测度的乘积了。

定理 3.3.3 (截面积分与乘积测度)

设 \((X, \mathcal{M}, \mu)\) 和 \((Y, \mathcal{N}, \nu)\) 为 \(\sigma\)-有限测度空间。对于任意 \(E \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}\)：

映射 \(x \mapsto \nu(E_x)\) 是 \(\mathcal{M}\)-可测的；
映射 \(y \mapsto \mu(E^y)\) 是 \(\mathcal{N}\)-可测的；
且它们的积分相等，共同定义了 \(X \times Y\) 上的乘积测度 \(\mu \times \nu\)：

\[ (\mu \times \nu)(E) = \int_X \nu(E_x) \, d\mu(x) = \int_Y \mu(E^y) \, d\nu(y) \]

定理 3.3.3 的证明简述

证明的核心利用了单调类定理。

首先，如果 \(E = A \times B\) 是可测长方形，\(\nu(E_x) = \nu(B) \cdot \chi_A(x)\)。这是一个简单函数，显然可测，且其积分为 \(\mu(A)\nu(B)\)。对称地，\(\int \mu(E^y)d\nu(y) = \mu(A)\nu(B)\) 也是成立的。

我们将满足上述性质的所有集合 \(E \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}\) 收集起来，构成集族 \(\mathcal{C}\)。由上述讨论，有限不相交的长方形并集（即由长方形生成的代数 \(\mathcal{A}\)）都在 \(\mathcal{C}\) 中。

由于测度空间是 \(\sigma\)-有限的，我们可以利用测度的自下连续性（针对递增集列）和自上连续性（结合控制收敛定理 DCT 针对递减集列），证明 \(\mathcal{C}\) 具有单调类的性质。

根据单调类定理，包含代数 \(\mathcal{A}\) 的单调类 \(\mathcal{C}\) 必定包含 \(\sigma(\mathcal{A}) = \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}\)。因此，对所有的可测集，该性质都成立。

4. Tonelli 定理与 Fubini 定理

这是重积分计算的两大核心定理。Tonelli 定理处理非负函数，而 Fubini 定理处理一般可积函数。它们通常配合使用。

定理 3.3.4 (Tonelli 定理：针对非负函数)

设 \((X, \mathcal{M}, \mu)\) 和 \((Y, \mathcal{N}, \nu)\) 为 \(\sigma\)-有限测度空间。如果 \(f \in L^+(X \times Y)\)（即 \(f\) 是非负可测函数），那么：

函数 \(g(x) = \int_Y f_x \, d\nu\) 和 \(h(y) = \int_X f^y \, d\mu\) 分别是 \(X\) 和 \(Y\) 上的非负可测函数。
\(f\) 的重积分可以通过任意顺序的累次积分计算（即使结果为 \(+\infty\)）：

\[ \int_{X \times Y} f \, d(\mu \times \nu) = \int_X \left( \int_Y f(x, y) \, d\nu(y) \right) d\mu(x) = \int_Y \left( \int_X f(x, y) \, d\mu(x) \right) d\nu(y) \]

Tonelli 定理的推导过程

特征函数：若 \(f = \chi_E\)，由乘积测度的定义（定理 3.3.3），定理直接成立。
非负简单函数：若 \(f = \sum a_j \chi_{E_j}\)，由积分的线性性质，定理成立。
非负可测函数：由简单函数逼近定理，存在单调递增的非负简单函数列 \(\phi_n \uparrow f\)。对于每一个 \(\phi_n\)，累次积分等于重积分。对等式两边应用单调收敛定理 (MCT)，极限与积分号交换，即可得到任意非负函数 \(f\) 满足 Tonelli 定理。

定理 3.3.5 (Fubini 定理：针对绝对可积函数)

设 \((X, \mathcal{M}, \mu)\) 和 \((Y, \mathcal{N}, \nu)\) 为 \(\sigma\)-有限测度空间。如果 \(f \in L^1(\mu \times \nu)\)（即 \(f\) 是乘积空间上的绝对可积函数），那么：

对于几乎所有的 \(x \in X\)，\(f_x \in L^1(\nu)\)（即截面函数是可积的）；对于几乎所有的 \(y \in Y\)，\(f^y \in L^1(\mu)\)。
对截面积分得到的函数 \(g(x) = \int_Y f_x \, d\nu\) 和 \(h(y) = \int_X f^y \, d\mu\) 分别在 \(X\) 和 \(Y\) 上是可积的。
重积分等于累次积分：

\[ \int_{X \times Y} f \, d(\mu \times \nu) = \int_X \left( \int_Y f(x, y) \, d\nu(y) \right) d\mu(x) = \int_Y \left( \int_X f(x, y) \, d\mu(x) \right) d\nu(y) \]

Fubini 定理的证明思路

因为 \(f \in L^1\)，可知 \(\int |f| \, d(\mu \times \nu) < \infty\)。

由于 \(|f|\) 是非负可测函数，我们可以对其应用 Tonelli 定理：

\[ \int_X \left( \int_Y |f(x, y)| \, d\nu(y) \right) d\mu(x) = \int_{X \times Y} |f| \, d(\mu \times \nu) < \infty \]

这说明外部积分是有限的。由非负函数积分的“几乎处处”性质，被积函数 \(\int_Y |f_x| d\nu\) 必须在 \(X\) 上几乎处处有限。这就证明了 \(f_x \in L^1(\nu)\) a.e.。

最后，将实函数 \(f\) 分解为正部和负部 \(f = f^+ - f^-\)（若为复函数则分解实虚部及正负部）。由于 \(|f|\) 可积，可知 \(f^+\) 和 \(f^-\) 都在 \(X \times Y\) 上可积。分别对 \(f^+\) 和 \(f^-\) 应用 Tonelli 定理，然后利用积分的线性性质相减，即证明了 Fubini 定理。

总结使用策略：在实际计算中，我们经常先对 \(|f|\) 使用 Tonelli 定理来验证积分是否有限。如果 \(\int \int |f| d\mu d\nu < \infty\)，则 \(f \in L^1(\mu \times \nu)\)，此时就可以放心大胆地使用 Fubini 定理交换 \(f\) 本身的积分顺序了。

5. \(\mathbb{R}^n\) 上的 Lebesgue 积分简述

基于上述乘积测度的理论，高维欧氏空间 \(\mathbb{R}^n\) 上的积分理论变得非常自然。

Lebesgue 测度的乘积：\(\mathbb{R}^n\) 上的 Borel 测度可视为 \(n\) 个一维 Borel 测度的乘积。将其进行完备化处理后，就得到了 \(\mathbb{R}^n\) 上的 Lebesgue 测度 \(m_n\)。
外测度逼近：对于 \(\mathbb{R}^n\) 中任何可测集 \(E\) 及其 Lebesgue 测度 \(m_n(E)\)，我们既可以通过开集从外部逼近（\(\inf \{m(U) \mid U \supset E\}\)），也可以通过紧集从内部逼近（\(\sup \{m(K) \mid K \subset E\}\)）。
几何不变性：在一维情况中，我们知道 Lebesgue 测度具有平移不变性。在 \(\mathbb{R}^n\) 中，Lebesgue 测度 \(m_n\) 不仅对于平移保持不变，对于空间中的旋转变换 (Rotations) 同样保持不变。这使得 Lebesgue 积分在处理几何与物理问题时具有天然的优势。