第十章：度量空间中的紧致性与序列紧致性
在点集拓扑中，度量空间是一类具有优良性质的拓扑空间。本章我们将专门探讨度量空间下的紧致性，引入 Lebesgue 数引理，并证明在度量空间中紧致性与序列紧致性是完全等价的。
1. 集合的直径与 Lebesgue 数引理
首先我们定义度量空间中集合的直径。
定义 10.1 (集合的直径)
对于度量空间 \((X, d)\) 以及其子集 \(A \subseteq X\)，定义集合 \(A\) 的直径为其中任意两点之间距离的上确界：
显然，如果 \(x \in A\)，那么必定有：
度量空间紧致性的一个极其重要的性质是 Lebesgue 数的存在性，它将开覆盖与距离的具体数值联系起来。
引理 10.1 (Lebesgue 数引理)
设 \(\mathcal{A} = \{A_i\}_{i \in I}\) 是紧致度量空间 \((X, d)\) 的一个开覆盖。那么必定存在一个实数 \(\delta = \delta(\mathcal{A}) > 0\)（称为该覆盖的 Lebesgue 数），使得对于任意子集 \(S \subseteq X\)，只要 \(d(S) < \delta\)，就必然存在某个索引 \(i \in I\) 使得：
引理 10.1 的证明（点击展开）
(1) 如果全空间 \(X\) 本身就属于覆盖族 \(\mathcal{A}\)，即 \(X \in \mathcal{A}\)，则结论显然成立（只需取任意正数 \(\delta\)，所有的子集必然都包含在 \(X\) 中）。
(2) 假设 \(X \notin \mathcal{A}\)。由于 \(X\) 是紧致空间，开覆盖 \(\mathcal{A}\) 必然存在有限子覆盖。我们记该有限子覆盖为 \(\{A_1, A_2, \dots, A_k\}\)。 我们定义一个实值函数 \(f: X \to \mathbb{R}_{\ge 0}\) 如下：
其中 \(d(x, X \setminus A_j)\) 表示点 \(x\) 到闭集 \(X \setminus A_j\) 的距离。注意到，点 \(x \in A_j\) 当且仅当 \(d(x, X \setminus A_j) > 0\)。
由于距离函数是连续的，有限个连续函数的和依然是连续的，故 \(f(x)\) 是 \(X\) 上的连续函数。因为 \(\{A_1, \dots, A_k\}\) 覆盖了 \(X\)，对于任意 \(x \in X\)，至少存在一个 \(A_j\) 使得 \(x \in A_j\)，从而 \(d(x, X \setminus A_j) > 0\)。因此，对于所有 \(x \in X\)，都有 \(f(x) > 0\)。
因为连续函数 \(f(x)\) 定义在紧致空间 \(X\) 上，根据极值定理，它必然能取得一个严格大于 0 的最小值。我们令这个最小值为 \(\delta\)：
这意味着对任意 \(x \in X\)，都有 \(f(x) \ge \delta\)，进而必定存在某个 \(i \in \{1, \dots, k\}\)，使得最大距离项不小于平均值，即 \(d(x, X \setminus A_i) \ge f(x) \ge \delta\)。
(3) 现在任取子集 \(S \subseteq X\)，满足其直径 \(d(S) < \delta\)。 如果在 \(S\) 中任选一点 \(s_0 \in S\)，由于 \(S\) 的直径小于 \(\delta\)，自然有：
根据 (2) 中的结论，对于点 \(s_0\)，存在某个索引 \(i\)，使得：
这表明以 \(s_0\) 为中心、半径为 \(\delta\) 的开球不会触碰到 \(X \setminus A_i\)。换言之：
结合以上的包含关系，我们得到：
因此，\(S \subseteq A_i\)，引理得证。 \(\square\)
2. 序列紧致性
在分析学中，序列收敛性经常用来刻画空间的性质。我们引入序列紧致的概念。
定义 10.2 (序列紧致 Sequential Compactness)
一个度量空间 \((X, d)\) 被称为序列紧致的，如果对于 \(X\) 中的任意序列 \(\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}\)，都必然存在一个收敛的子序列，且该子序列的极限点依然在 \(X\) 中。
3. 度量空间中紧致性与序列紧致性的等价性
在一般的拓扑空间中，紧致性与序列紧致性未必等价。然而，在度量空间中，这二者是完全一致的。
定理 10.1 (度量空间紧致性的等价刻画)
对于度量空间 \((X, d)\) 及其任意子集 \(S \subseteq X\)，以下两命题等价：
-
(1) \(S\) 是紧致的。
-
(2) \(S\) 是序列紧致的。
定理 10.1 的证明（点击展开）
充分性：(1) \(\implies\) (2) (紧致性推导序列紧致性)
假设 \(S\) 是紧致的。设 \(A = \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq S\) 是 \(S\) 中的任意一个序列。我们需要证明 \(A\) 在 \(S\) 中存在聚点（即收敛子序列的极限）。
我们采用反证法。假设序列 \(A\) 在 \(S\) 中没有聚点，记 \(A\) 的聚点集为 \(\text{Lps}(A) = \emptyset\)。
因为 \(A\) 没有任何聚点，所以 \(A\) 是一个闭集，并且对于 \(S\) 中的任意一点 \(x \in S\)，都存在一个开邻域 \(U_x\)，使得 \(U_x\) 最多只包含 \(A\) 中的有限个点（具体而言，仅可能包含 \(x\) 自身）。
显然，集合族 \(\{U_x\}_{x \in S}\) 构成了紧致集 \(S\) 的一个开覆盖。由于 \(S\) 具有紧致性，必然存在有限个点 \(x_1, x_2, \dots, x_k \in S\)，使得它们对应的开邻域覆盖了 \(S\)：
然而，因为 \(A \subseteq S\)，所以 \(A\) 也被这有限个开集覆盖。已知每个 \(U_{x_m}\) 只能包含序列 \(A\) 中的有限个点，那么这有限个开集的并集最多也只能包含有限个点。这与 \(A\) 作为一个无穷序列的假设产生了直接矛盾！
因此，假设不成立，序列 \(A\) 在 \(S\) 中必然有聚点，进而能提取出一个收敛于该聚点的子序列。这证明了 \(S\) 是序列紧致的。
必要性：(2) \(\implies\) (1) (序列紧致性推导紧致性)
假设 \(S\) 是序列紧致的。设 \(\mathcal{A} = \{A_i\}_{i \in I}\) 是 \(S\) 的任意一个开覆盖。我们将通过几个断言（Claim）来证明它存在有限子覆盖。
断言 1：存在 Lebesgue 数 \(\delta > 0\)
我们首先断言，必然存在 \(\delta > 0\)，使得对于任意子集 \(B \subseteq S\)，若直径 \(d(B) < \delta\)，则 \(B \subseteq A_i\) 对某个 \(i\) 成立。
采用反证法。假设不存在这样的 \(\delta\)。那么对于任意 \(n \in \mathbb{N}\)，存在子集 \(B_n \subseteq S\) 满足 \(d(B_n) < \frac{1}{n}\)，但 \(B_n\) 不完全包含于任何 \(A_i\) 中。在每个 \(B_n\) 中任取一点 \(b_n \in B_n\)，我们得到序列 \(\{b_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq S\)。
由序列紧致性的假设，序列 \(\{b_n\}\) 必然存在收敛子序列 \(\{b_{n_k}\}\)，设其极限为 \(b \in S\)。既然 \(b \in S\)，且 \(\mathcal{A}\) 覆盖了 \(S\)，那么存在某个开集 \(A_i \in \mathcal{A}\) 使得 \(b \in A_i\)。由于 \(A_i\) 是开集，必然存在 \(\epsilon > 0\) 使得：
因为子序列 \(b_{n_k} \rightarrow b\) 且子集半径 \(d(B_{n_k}) < \frac{1}{n_k} \rightarrow 0\)，对于足够大的 \(k\)，整个集合 \(B_{n_k}\) 将完全陷入 \(B_\epsilon(b)\) 内：
但这与我们假设的“\(B_{n_k}\) 不包含于任何 \(A_i\) 中”相矛盾！因此，必然存在一个全局的 Lebesgue 数 \(\delta > 0\)。
断言 2：\(S\) 是完全有界的 (Totally bounded)
我们断言，对于前面找到的 \(\delta > 0\)，开覆盖族 \(\{B_{\delta/3}(x) : x \in S\}\) 必然具有有限子覆盖。
采用反证法。假设它没有有限子覆盖。我们可以递归地构造一个序列：取 \(x_1 \in S\)；取 \(x_2 \in S \setminus B_{\delta/3}(x_1)\)；取 \(x_3 \in S \setminus (B_{\delta/3}(x_1) \cup B_{\delta/3}(x_2))\)；依次类推，取：
如此构造出的点集 \(P = \{x_1, x_2, \dots, x_n, \dots\} \subseteq S\) 中，任意两点之间的距离均满足：
这样一个点与点之间有固定距离下界的序列，不可能拥有柯西子序列，因此也绝对不可能拥有收敛子序列。这直接违反了 \(S\) 的序列紧致性假设！故假设错误，\(S\) 必须能被有限个半径为 \(\delta/3\) 的开球覆盖。
断言 3：提取有限子覆盖
根据断言 2，存在有限个点 \(x_1, x_2, \dots, x_r \in S\)，使得：
注意到每个开球 \(B_{\delta/3}(x_m)\) 的直径都严格小于 \(\delta\)：
根据断言 1（Lebesgue 数的存在性），每一个这样的开球必然被原始开覆盖 \(\mathcal{A}\) 中的某个开集 \(A_{i_m}\) 所包含：
于是我们得到：
这就从任意的开覆盖 \(\mathcal{A}\) 中成功提取出了有限子覆盖 \(\{A_{i_1}, A_{i_2}, \dots, A_{i_r}\}\)。证明完成。 \(\square\)