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1.1 \(\sigma\)-代数与测度空间基础

在本章中，我们将建立测度论最基本的框架。与传统的黎曼积分依赖于区间的划分不同，勒贝格积分（以及抽象测度论）建立在对集合的划分之上。因此，我们需要首先定义哪些集合是“可测的”，这就引入了 \(\sigma\)-代数的概念。

1. 集合的代数与 \(\sigma\)-代数

为了使得测度的加法运算有意义，可测集族必须对集合的基本运算封闭。

定义 1.1 (代数 Algebra)

设 \(X\) 为一个非空集合，\(\mathcal{A} \subset 2^X\) 为 \(X\) 的一个子集族。如果 \(\mathcal{A}\) 满足以下条件，则称其为一个代数：

  • 对于任意 \(E_1, E_2 \in \mathcal{A}\)，有 \(E_1 \cup E_2 \in \mathcal{A}\)。

  • 对于任意 \(E \in \mathcal{A}\)，其补集 \(E^c \in \mathcal{A}\)。

由上述定义容易推导，代数对有限次交集运算也是封闭的，并且必然包含全集 \(X\) 和空集 \(\emptyset\)。

定义 1.2 (\(\sigma\)-代数 \(\sigma\)-Algebra)

设 \(\mathcal{M}\) 是一个代数。如果 \(\mathcal{M}\) 进一步对可数并封闭，即对于任意集合列 \(\{E_k\}_{k=1}^\infty \subset \mathcal{M}\)，都有：

\[ \bigcup_{k=1}^\infty E_k \in \mathcal{M} \]

则称 \(\mathcal{M}\) 为一个 \(\sigma\)-代数。

结合德摩根定律和补集的封闭性，\(\sigma\)-代数对可数交必然也是封闭的。

定理 1.1 (生成的 \(\sigma\)-代数与 Borel \(\sigma\)-代数)

  • 生成的 \(\sigma\)-代数：给定 \(X\) 上的任意子集族 \(\mathcal{E} \subset 2^X\)，包含 \(\mathcal{E}\) 的所有 \(\sigma\)-代数的交集仍然是一个 \(\sigma\)-代数，记为 \(\mathcal{M}(\mathcal{E})\)。它被称为由 \(\mathcal{E}\) 生成的最小 \(\sigma\)-代数。

  • Borel \(\sigma\)-代数：如果 \(X\) 是一个拓扑空间，设 \(\mathcal{T}\) 为其上所有开集构成的族，则由 \(\mathcal{T}\) 生成的 \(\sigma\)-代数称为 Borel \(\sigma\)-代数，记为 \(\mathcal{B}_X = \mathcal{M}(\mathcal{T})\)。

在实数空间 \(\mathbb{R}^n\) 中，Borel \(\sigma\)-代数不仅可以由开集生成，还可以由开区间 \((a,b)\)、闭区间 \([a,b]\)、半开半闭区间 \([a,b)\)，甚至形如 \((-\infty, a)\) 或 \([a, +\infty)\) 的射线族生成。

乘积 \(\sigma\)-代数与基本族

定义 1.3 (乘积 \(\sigma\)-代数)

设 \(\{(X_\alpha, \mathcal{M}_\alpha)\}_{\alpha \in A}\) 是一族可测空间。定义乘积空间 \(X = \prod_{\alpha \in A} X_\alpha\)，并设投影映射为 \(\pi_\alpha: X \rightarrow X_\alpha\)。

那么，\(X\) 上的乘积 \(\sigma\)-代数定义为使所有投影映射 \(\pi_\alpha\) 都可测的最小 \(\sigma\)-代数：

\[ \bigotimes_{\alpha \in A} \mathcal{M}_\alpha = \mathcal{M} \left( \left\{ \pi_\alpha^{-1}(E_\alpha) \mid E_\alpha \in \mathcal{M}_\alpha, \alpha \in A \right\} \right) \]

定义 1.4 (基本族 Elementary Family)

集族 \(\mathcal{E} \subset 2^X\) 称为一个基本族，如果满足：

  • \(\emptyset \in \mathcal{E}\)。

  • 若 \(E, F \in \mathcal{E}\)，则 \(E \cap F \in \mathcal{E}\)。

  • 若 \(E \in \mathcal{E}\)，则 \(E^c\) 可以表示为 \(\mathcal{E}\) 中有限个互不相交集合的并集。

2. 测度与测度空间

在有了 \(\sigma\)-代数赋予“可测集”概念后，我们现在可以在其上定义“长度”、“面积”或“体积”的抽象概念，即测度。

定义 1.5 (测度 Measure)

设 \((X, \mathcal{M})\) 为一个可测空间。如果集函数 \(\mu: \mathcal{M} \rightarrow [0, +\infty]\) 满足以下条件，则称 \(\mu\) 为 \(\mathcal{M}\) 上的一个测度：

  • 非负性：测度的取值在 \([0, +\infty]\) 之间。

  • 空集为零：\(\mu(\emptyset) = 0\)。

  • 可数可加性 (Countable Additivity)：对于 \(\mathcal{M}\) 中任意互不相交的集合列 \(\{E_k\}_{k=1}^\infty\) （即 \(E_i \cap E_j = \emptyset, i \ne j\)），有：

\[ \mu\left(\bigcup_{k=1}^\infty E_k\right) = \sum_{k=1}^\infty \mu(E_k) \]

如果给定了一个空间 \(X\)、其上的 \(\sigma\)-代数 \(\mathcal{M}\) 以及测度 \(\mu\)，三元组 \((X, \mathcal{M}, \mu)\) 就构成了一个测度空间 (Measure Space)。

几个常见的简单测度实例：

  • 计数测度 (Counting Measure)：对于任意集合 \(E\)，\(\mu(E)\) 等于集合中包含的元素个数。

  • 狄拉克测度 (Dirac Delta Measure)：给定空间中固定一点 \(x_0\)，若 \(x_0 \in E\) 则 \(\mu(E) = 1\)，若 \(x_0 \notin E\) 则 \(\mu(E) = 0\)。

测度的基本性质

测度函数由其公理定义，可以自然地推导出以下重要分析性质。

定理 1.2 (测度的基本性质)

设 \((X, \mathcal{M}, \mu)\) 为测度空间，则 \(\mu\) 满足：

  • 单调性 (Monotonicity)：若 \(E, F \in \mathcal{M}\) 且 \(E \subset F\)，则 \(\mu(E) \le \mu(F)\)。进一步，如果 \(\mu(E) < \infty\)，则有 \(\mu(F \setminus E) = \mu(F) - \mu(E)\)。

  • 次可加性 (Subadditivity)：对于任意集合列 \(\{E_j\}_{j=1}^\infty \subset \mathcal{M}\) （不要求互不相交），恒有：

\[ \mu\left(\bigcup_{j=1}^\infty E_j\right) \le \sum_{j=1}^\infty \mu(E_j) \]
  • 自下连续性 (Continuity from Below)：对于单调递增的集合列 \(E_1 \subset E_2 \subset \cdots\)，有：
\[ \mu\left(\bigcup_{j=1}^\infty E_j\right) = \lim_{j \rightarrow \infty} \mu(E_j) \]
  • 自上连续性 (Continuity from Above)：对于单调递减的集合列 \(E_1 \supset E_2 \supset \cdots\)，且满足 \(\mu(E_1) < \infty\)，有：
\[ \mu\left(\bigcap_{j=1}^\infty E_j\right) = \lim_{j \rightarrow \infty} \mu(E_j) \]

3. 零测集与测度空间的完备化

在实分析的后续讨论（例如“几乎处处”概念）中，零测集扮演着核心角色。然而，一般的测度空间并不能保证零测集的所有子集都可测，这就引出了完备化的概念。

定义 1.6 (零测集与完备测度空间)

  • 零测集 (Null Set)：若 \(E \in \mathcal{M}\) 满足 \(\mu(E) = 0\)，则称 \(E\) 为 \(\mu\)-零测集。

  • 完备测度空间 (Complete Measure Space)：如果零测集的任意子集都属于 \(\mathcal{M}\) （因此其测度也必然为零），则称测度空间 \((X, \mathcal{M}, \mu)\) 是完备的。

一般测度空间中的零测子集不一定是可测的。但我们可以通过向原 \(\sigma\)-代数中人为添加这些零测子集，将任何测度空间“完备化”。

定理 1.3 (测度空间的完备化)

对于任意测度空间 \((X, \mathcal{M}, \mu)\)，我们可以构造其完备化空间 \((X, \overline{\mathcal{M}}, \overline{\mu})\)，其中新的 \(\sigma\)-代数定义为：

\[ \overline{\mathcal{M}} = \{E \cup F \mid E \in \mathcal{M}, F \subset N \text{ 且 } N \in \mathcal{M}, \mu(N)=0\} \]

在这个扩张的 \(\sigma\)-代数上定义 \(\overline{\mu}(E \cup F) = \mu(E)\)，则 \(\overline{\mathcal{M}}\) 构成一个 \(\sigma\)-代数，且 \(\overline{\mu}\) 是其上唯一的完备测度扩张。

完备化定理的证明

要证明 \((X, \overline{\mathcal{M}}, \overline{\mu})\) 是一个完备的测度空间，我们需要验证两点：\(\overline{\mathcal{M}}\) 是一个 \(\sigma\)-代数，且 \(\overline{\mu}\) 在其上是良定义的完备测度。

第一步：验证 \(\overline{\mathcal{M}}\) 是 \(\sigma\)-代数

对于可数并的封闭性：设 \(A_j = E_j \cup F_j \in \overline{\mathcal{M}}\)，其中 \(E_j \in \mathcal{M}\)，\(F_j \subset N_j\) 且 \(\mu(N_j) = 0\)。

\[ \bigcup_{j=1}^\infty A_j = \left(\bigcup_{j=1}^\infty E_j\right) \cup \left(\bigcup_{j=1}^\infty F_j\right) \]

因为 \(\mathcal{M}\) 是 \(\sigma\)-代数，所以 \(\bigcup_{j=1}^\infty E_j \in \mathcal{M}\)。同时，\(\bigcup_{j=1}^\infty F_j \subset \bigcup_{j=1}^\infty N_j\)。由测度的次可加性：

\[ \mu\left(\bigcup_{j=1}^\infty N_j\right) \le \sum_{j=1}^\infty \mu(N_j) = 0 \]

所以并集依然具有 \(E \cup F\) 的形式，证明了对可数并封闭。

接着验证对补集封闭。设 \(A = E \cup F \in \overline{\mathcal{M}}\)，为了方便取补集可以假设 \(E \cap N = \emptyset\)。 由于 \(A^c = (E \cup F)^c = E^c \cap F^c\)，并结合 \(F \subset N\)，可以改写为：

\[ A^c = (E \cup N)^c \cup (N \setminus F) \cap E^c \]

这里 \((E \cup N)^c \in \mathcal{M}\)，而 \((N \setminus F) \cap E^c \subset N\) 为零测集的子集，说明 \(A^c \in \overline{\mathcal{M}}\)，故 \(\overline{\mathcal{M}}\) 是 \(\sigma\)-代数。

第二步：验证完备性

假设存在某个子集 \(S \subset A \in \overline{\mathcal{M}}\) 且 \(\overline{\mu}(A) = \mu(E) = 0\)。 因为 \(A = E \cup F \subset E \cup N\)，所以 \(S \subset E \cup N\)。 由于 \(\mu(E \cup N) \le \mu(E) + \mu(N) = 0\)，这就说明 \(S\) 包含在 \(\mathcal{M}\) 的一个零测集内。按定义 \(S = \emptyset \cup S \in \overline{\mathcal{M}}\)。这证明了测度空间在完备化下的完备性。

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