第十章：开映射定理与闭图像定理
本部分接续前一章的内容，首先介绍算子的强收敛与代数运算，随后重点讨论泛函分析中的三大基本定理之二：开映射定理与闭图像定理。
1. 强收敛与算子的代数运算
1.1 强收敛
除了按算子范数收敛（一致算子拓扑）之外，算子列还有一种常见的收敛方式，即在每个点上逐点收敛。
定义 10.1 (强收敛)
设 \(T, T_n \in \mathbb{B}(E, E_1)\)。若对每个 \(x \in E\)，有：
则称 \(\{T_n\}\) 强收敛于 \(T\)，或称 \(\{T_n\}\) 按强算子拓扑收敛于 \(T\)。记为：
-
强收敛与一致收敛的关系：任何一个算子列若按算子范数收敛于某一算子，则必强收敛于同一算子。因为：
\[ \|Tx - T_nx\| \le \|T - T_n\|\|x\| \rightarrow 0 \]反之则不然。例如在上一章末尾提到的 \(l^p\) 空间上的截断位移算子 \(T_n\)，虽然不按算子范数收敛于零算子，但它按强收敛于零算子，因为对任意 \(x \in l^p\)：
\[ \|T_n x\|_p = \|x_n\|_p \rightarrow 0 \]
1.2 算子的乘法
定义 10.2 (算子的乘法)
设 \(E, E_1, E_2\) 是赋范线性空间，\(T_1 \in \mathbb{B}(E, E_1)\)，\(T_2 \in \mathbb{B}(E_1, E_2)\)。定义 \(T_1\) 与 \(T_2\) 的算子乘积 \(T_2 T_1\) 如下：
算子的乘法满足以下代数性质：
- 结合律：\(T_3(T_2 T_1) = (T_3 T_2)T_1\)，这里 \(T_3 \in \mathbb{B}(E_2, E_3)\)。 证明：任取 \(x \in E\)，则 \((T_3(T_2 T_1))x = T_3((T_2 T_1)x) = T_3(T_2(T_1 x)) = (T_3 T_2)(T_1 x) = ((T_3 T_2)T_1)x\)
- 数乘结合：\((\alpha T_2)T_1 = \alpha(T_2 T_1)\) 且 \(T_2(\alpha T_1) = \alpha(T_2 T_1)\)。
- 分配律：\(T_2(T_1 + T_1') = T_2 T_1 + T_2 T_1'\) 且 \((T_2 + T_2')T_1 = T_2 T_1 + T_2' T_1\)。
- 有界性：\(T_2 T_1 \in \mathbb{B}(E, E_2)\)，且 \(\|T_2 T_1\| \le \|T_2\|\|T_1\|\)。 证明：任取 \(x \in E\)，则 \(\|(T_2 T_1)x\| = \|T_2(T_1 x)\| \le \|T_2\|\|T_1 x\| \le \|T_2\|\|T_1\|\|x\|\)
如果 \(T_1, T_2 \in \mathbb{B}(E)\)，则 \(T_2 T_1\) 与 \(T_1 T_2\) 都有意义。但一般情况下乘法不可交换，即 \(T_2 T_1 \ne T_1 T_2\)。若相等，则称 \(T_1, T_2\) 可交换。 （注：\(T^n\) 表示 \(n\) 个 \(T\) 相乘，而 \(T^0\) 表示单位算子 \(I\)。）
不可交换的例子： 设 \(E = C[0,1]\)，考虑下面两个有界线性算子：
（\(T_1\) 是 Volterra 积分算子，\(T_2\) 是乘法算子）。计算它们的乘积：
取 \(x_0 \equiv 1\)，则：
故 \(T_2 T_1 \ne T_1 T_2\)。
1.3 赋范代数与 Banach 代数
定义 10.3 (赋范代数)
设 \(\mathscr{B}\) 是一个非空集合，且在 \(\mathscr{B}\) 中定义了代数运算（线性运算与乘法运算），且乘法满足结合律，乘法对于加法满足分配律。此外还定义了范数，对 \(\mathscr{B}\) 中任意元素 \(T_1, T_2\)，有：
则称 \(\mathscr{B}\) 为赋范代数。若它同时是完备的，则称为 Banach 代数。
对于赋范线性空间 \(E\)，\(\mathbb{B}(E)\) 构成一个赋范代数；若 \(E\) 完备（即 Banach 空间），则 \(\mathbb{B}(E)\) 为 Banach 代数。
2. Banach 开映射定理与逆算子定理
2.1 Banach 开映射定理
定理 10.1 (Banach 开映射定理)
设有界线性算子 \(T\) 将 Banach 空间 \(E\) 映射成 Banach 空间 \(E_1\) 中某个第二类型的集 \(F\)，则下列结论成立：
(i) \(F = E_1\)，即算子 \(T\) 的值域是整个空间 \(E_1\)；
(ii) 存在正数 \(K\)，使得对一切 \(y \in E_1\)，存在 \(x \in E\) 使得 \(Tx = y\) 且 \(\|x\| \le K\|Tx\|\)。
定理 10.1 的证明（点击展开）
证明分为四步：
(i) 证明存在闭球内稠密的像集： 令 \(O_n = \{x \in E : \|x\| \le n\}\)，\(M_n = T(O_n)\)，即 \(M_n\) 为 \(O_n\) 的像。因 \(E = \bigcup_{n=1}^\infty O_n\)，故 \(F = \bigcup_{n=1}^\infty M_n\)。 由于 \(F\) 是第二类型的集，根据 Baire 纲定理，必定存在 \(n_0\) 使得 \(M_{n_0}\) 不是稀疏集。于是存在 \(E_1\) 中的闭球：
使得 \(M_{n_0} = T(O_{n_0})\) 在 \(Q(y_0, r_0)\) 中稠密。
(ii) 证明 \(M_1 = T(O_1)\) 在原点球 \(Q_{\delta_0}\) 中稠密： 令 \(\delta_0 = \frac{r_0}{n_0}\)；定义 \(E_1\) 中的原点球 \(Q_{\delta_0} := Q(\theta, \delta_0) = \{y \in E_1 : \|y\| \le \delta_0\}\)。 任取 \(y \in Q_{\delta_0}\)，则 \(y_0 \pm n_0 y \in Q(y_0, r_0)\)。故存在 \(O_{n_0}\) 中的点列 \(\{x_k\}\) 与 \(\{x_k'\}\) 使得：
那么 \(T(x_k - x_k') \rightarrow 2n_0 y\)，即：
因为 \(\frac{x_k - x_k'}{2n_0} \in O_1\)（范数不超过 \(\frac{2n_0}{2n_0} = 1\)）。这说明 \(M_1\) 在 \(Q_{\delta_0}\) 中稠密。
(iii) 证明 \(M_1 \supseteq Q_{\delta_0/2}\)： 记 \(O_{1/2^n} = \{x \in E : \|x\| \le 1/2^n\}\)，\(Q_{\delta_0/2^n} = \{y \in E_1 : \|y\| \le \delta_0/2^n\}\)。 由第二步的缩放可知，\(T(O_{1/2^n})\) 在 \(Q_{\delta_0/2^n}\) 中稠密。 任取 \(y \in Q_{\delta_0/2}\)，由于 \(T(O_{1/2})\) 稠密，故存在 \(x_1 \in O_{1/2}\) 使得：
即 \(y - Tx_1 \in Q_{\delta_0/2^2}\)。由于 \(T(O_{1/2^2})\) 在此球中稠密，存在 \(x_2 \in O_{1/2^2}\) 使得：
用归纳法可以证明：存在点列 \(x_n \in O_{1/2^n}\) 使得：
因为 \(E\) 是 Banach 空间，级数 \(x = \sum_{n=1}^\infty x_n\) 在 \(E\) 中收敛：
所以 \(x \in O_1\)，由算子的连续性，\(Tx = y\)。因此 \(M_1 = T(O_1) \supseteq Q_{\delta_0/2}\)。
(iv) 证明定理结论： 任取 \(y \in E_1, y \ne \theta\)，令 \(y' = \frac{\delta_0}{2} \frac{y}{\|y\|} \in Q_{\delta_0/2}\)。 由 (iii)，存在 \(x' \in O_1\) 使得 \(Tx' = y'\)。令 \(x = \frac{2\|y\|}{\delta_0} x'\)，则：
且
至此，证明了 \(F = E_1\)，并且取 \(K = \frac{2}{\delta_0}\) 即满足定理条件 (ii)。 \(\square\)
2.2 开映射定理推论
推论 10.2 (开映射)
设有界线性算子 \(T\) 满足上述定理的条件，则 \(T\) 将 \(E\) 中的任何开集映成 \(E_1\) 中的开集。
推论 10.2 的证明（点击展开）
由 Banach 开映射定理证明的第三步可知，\(T(O_1) \supseteq Q_{\delta_0/2}\)。通过线性缩放，对任给的 \(n\)，有：
现设 \(G \subset E\) 是开集，任取 \(y \in T(G)\)，则存在 \(x \in G\) 使得 \(Tx = y\)。由于 \(G\) 是开集，\(x\) 是 \(G\) 的内点，故存在 \(n\) 使得 \(x + O_{1/2^n} \subset G\)。于是：
注意到 \(Q_{\delta_0/2^{n+1}} \subseteq T(O_{1/2^n})\)，因此：
这表明 \(y\) 是 \(T(G)\) 的内点，故 \(T(G)\) 是开集。 \(\square\)
注：另一个推论是，有界线性算子 \(T: E \rightarrow E_1\) 的值域要么是整个 \(E_1\)，要么是 \(E_1\) 中的第一类型集，二者必居其一。
2.3 逆算子定理
如果 \(T\) 是双射（单射且满射），则 \(T\) 的逆映射 \(T^{-1}\) 存在，称为 \(T\) 的逆算子。下面的定理给出了逆算子有界的一个重要判定条件。
定理 10.3 (逆算子定理)
设有界线性算子 \(T\) 将 Banach 空间 \(E\) 映成 Banach 空间 \(E_1\) 中的某个第二类型的集，而且 \(T\) 是单映射，则 \(T\) 存在有界逆算子。
定理 10.3 的证明（点击展开）
由 Banach 开映射定理，由于像是第二类型集，\(T\) 的值域必定是整个 \(E_1\)。 再由假设，\(T\) 是单映射，故 \(T\) 是双射，其逆算子 \(T^{-1}\) 存在。
记 \(x = T^{-1}y\)。由开映射定理结论 (ii)，存在 \(K\) 使得：
代入 \(y\)，有：
这直接证明了 \(T^{-1}\) 是有界的。 \(\square\)
3. 范数等价
在赋范空间中，探讨不同范数之间的等价性对理解空间的拓扑结构非常关键。
定义 10.4 (范数等价)
设 \(E\) 是一个线性空间，\(\|\cdot\|_1\) 和 \(\|\cdot\|_2\) 是定义在 \(E\) 上的两个范数。若存在正数 \(K_1, K_2\)，使不等式：
对一切 \(x \in E\) 成立，则称范数 \(\|\cdot\|_1\) 和 \(\|\cdot\|_2\) 等价。等价的范数导出的拓扑结构完全同构。
利用逆算子定理，我们可以得到 Banach 空间上的一个极强的结论：
推论 10.4
设 \((E, \|\cdot\|_1)\) 和 \((E, \|\cdot\|_2)\) 均为 Banach 空间。若存在正数 \(K\) 使得对一切 \(x \in E\) 有：
则这两个范数是等价的，因此拓扑同构。
推论 10.4 的证明（点击展开）
令 \(I\) 是 \(E\) 上的单位算子，则可以看成是由 Banach 空间 \((E, \|\cdot\|_1)\) 到 Banach 空间 \((E, \|\cdot\|_2)\) 上的算子。显然 \(I\) 是双映射。
由不等式 \(\|Ix\|_2 = \|x\|_2 \le K\|x\|_1\) 可知，算子 \(I\) 是有界（连续）的。
根据逆算子定理，\(I\) 的逆算子 \(I^{-1}\) 也有界。即存在 \(K' > 0\) 使得：
综合以上两个不等式，范数 \(\|\cdot\|_1\) 与 \(\|\cdot\|_2\) 等价。 \(\square\)
4. 算子的图像与闭图像定理
4.1 算子的图像与闭算子
数学分析中一元函数 \(y = f(x)\) 的图像是平面上的曲线，由点 \((x, f(x))\) 组成。对一般的线性算子，我们也可以引入图像。
设 \(E, E_1\) 都是赋范线性空间，作直接和 \(E \oplus E_1\)，并定义范数：
容易验证 \(E \oplus E_1\) 按照此范数是一个赋范线性空间（若两者都完备，则其也是 Banach 空间）。
定义 10.5 (闭算子)
设 \(T\) 是定义在 \(E\) 的子空间 \(D\) 上且值域包含在 \(E_1\) 中的线性算子。\(E \oplus E_1\) 中所有形如 \((x, Tx)\) (\(x \in D\)) 的元素构成的集称为 \(T\) 的图像，记为 \(G_T\)。
如果 \(T\) 的图像 \(G_T\) 是 \(E \oplus E_1\) 的闭子空间，则称 \(T\) 为闭线性算子或闭算子。
性质 10.5 (闭算子的等价刻画)
\(T\) 为闭算子的充分必要条件是：对任意的点列 \(\{x_n\} \in D\)，若 \(\{x_n\}, \{Tx_n\}\) 在 \(E, E_1\) 中分别收敛于 \(x, y\)，则必有 \(x \in D\) 且 \(Tx = y\)。
性质 10.5 的证明（点击展开）
充分性：任取 \((x,y) \in \overline{G_T}\)，则存在 \(\{x_n\} \in D\) 使得 \((x_n, Tx_n) \rightarrow (x, y)\)，即：
所以 \(x_n \rightarrow x\) 且 \(Tx_n \rightarrow y\)。由假设可知 \(x \in D\) 且 \(Tx = y\)，故 \((x,y) = (x, Tx) \in G_T\)。因此 \(G_T = \overline{G_T}\)，\(T\) 为闭算子。
必要性：设 \(\{x_n\} \in D\)，且 \(x_n \rightarrow x, Tx_n \rightarrow y\)。于是 \(\|(x_n, Tx_n) - (x,y)\| \rightarrow 0\)。由于 \(G_T\) 是闭集，其极限必定属于 \(G_T\)，即 \((x, y) \in G_T\)。这就意味着 \(x \in D\) 且 \(Tx = y\)。 \(\square\)
示例：微分算子是无界的闭算子
微分算子 \(T = \frac{d}{dt}\) 的定义域是 \(C[a,b]\) 中具有连续导数的函数构成的集 \(C^1[a,b]\)。 若 \(\{x_n\} \in C^1[a,b]\)，且在 \(C[a,b]\) 中有 \(x_n \rightarrow x\) 和 \(Tx_n \rightarrow y\)。即函数列 \(x_n(t)\) 及其导函数列 \(x_n'(t)\) 分别一致收敛于 \(x(t)\) 及 \(y(t)\)。
由数学分析经典定理可知，极限函数 \(x(t)\) 必定具有连续导数，且 \(x'(t) = y(t)\)。 因此 \(x \in C^1[a,b]\)，且 \(Tx = y\)。故 \(T\) 是闭算子。我们前面已经证明过它是无界的。
4.2 闭图像定理
闭算子不一定有界，但如果它的定义域是整个 Banach 空间，那么它必定是有界的。这就引出了泛函分析中的闭图像定理。
定理 10.6 (闭图像定理)
设 \(T\) 是将 Banach 空间 \(E\) 映到 Banach 空间 \(E_1\) 的线性算子（注意定义域为全空间 \(E\)）。则 \(T\) 有界的充分必要条件是 \(T\) 为闭算子。
定理 10.6 的证明（点击展开）
必要性：设 \(T\) 有界。任取 \((x,y) \in \overline{G_T}\)，则存在 \(\{x_n\} \in E\) 使得 \((x_n, Tx_n) \rightarrow (x, y)\)，即：
因 \(T\) 有界（即连续），故 \(Tx_n \rightarrow Tx\)。由极限的唯一性，必有 \(y = Tx\)。由此可知 \((x,y) \in G_T\)。这表明 \(G_T\) 是闭的，即 \(T\) 为闭算子。
充分性：设 \(T\) 是闭算子，则 \(G_T\) 是 \(E \oplus E_1\) 的闭子空间。因 \(E, E_1\) 都是 Banach 空间，所以 \(E \oplus E_1\) 也是 Banach 空间，从而其闭子空间 \(G_T\) 同样是 Banach 空间。
定义由 \(G_T\) 投影到 \(E\) 的算子 \(\tilde{T}\)：
显然 \(\tilde{T}\) 是线性的。由于定义域为全空间 \(E\)，\(\tilde{T}\) 是满映射。 若 \(\tilde{T}(x, Tx) = \theta\)，则 \(x = \theta\)，从而 \(Tx = \theta\)。即 \((x, Tx) = (\theta, \theta)\)，故 \(\tilde{T}\) 是单射。综上，\(\tilde{T}\) 是双映射。
再考察其有界性：
这说明 \(\tilde{T}\) 是有界的线性双射。由逆算子定理，\(\tilde{T}\) 存在有界的逆算子 \(\tilde{T}^{-1}\)。
对任意 \(x \in E\)，由 \((x, Tx) = \tilde{T}^{-1}(x)\)，可得：
由于 \(\|Tx\| \le \|x\| + \|Tx\| = \|(x, Tx)\|\)，进一步得到：
这证明了原算子 \(T\) 也是有界的。 \(\square\)
闭图像定理的意义：它将判断定义在 Banach 空间上的线性算子是否有界，转化为了判断该算子是否为闭算子。在实际验证中，检查 \(x_n \rightarrow x\) 且 \(Tx_n \rightarrow y \implies Tx = y\) 往往比直接证明有界性要方便得多。但必须注意，前提条件是算子的定义域必须是完备的全空间。