第十二章：有界线性泛函的延拓与共鸣定理

本章重点讨论有界线性泛函的延拓理论，详细证明泛函分析中最为核心的基石定理之一——Hahn-Banach 延拓定理（包括实线性空间与复线性空间版本），并深入探讨其在赋范线性空间中的一系列极其重要的推论。

1. 线性泛函的延拓概念

在探讨有界线性泛函的延拓之前，一个根本性的问题摆在我们面前：在一个一般的、只含有非零元素的赋范线性空间上，是否一定存在非零的有界线性泛函？

为了回答这个关于非零有界线性泛函“存在性”的根本问题，我们必须深入研究有界线性泛函的延拓理论。

定义 12.1 (延拓)

设 \(E\) 是一个线性空间，\(f_1\) 和 \(f_2\) 分别是定义在 \(E\) 的子空间 \(G_1\) 和 \(G_2\) 上的线性泛函。如果它们满足以下两个条件：

(i) \(G_1 \subset G_2\)；

(ii) 对任一 \(x \in G_1\)，都有 \(f_1(x) = f_2(x)\)；

则称 \(f_2\) 是 \(f_1\) 在 \(G_2\) 上的一个延拓。

2. 次可加与正齐次泛函

为了给 Hahn-Banach 定理的控制边界建立数学工具，我们首先引入两类特殊的泛函结构。

定义 12.2 (次可加与正齐次)

设 \(E\) 为线性空间，\(p\) 为定义在 \(E\) 上的实值泛函。

如果对任意的 \(x, y \in E\)，恒有：

\[ p(x + y) \le p(x) + p(y) \]

则称 \(p\) 为次可加的。
如果对任意的实数 \(a \ge 0\) 以及任意的 \(x \in E\)，恒有：

\[ p(ax) = a p(x) \]

则称 \(p\) 为正齐次的。

3. Hahn-Banach 延拓定理（实空间版本）

这是 Hahn-Banach 定理最经典的核心代数版本，它表明在次可加正齐次泛函的控制下，实线性子空间上的线性泛函总可以被延拓到全空间。

定理 12.1 (Hahn-Banach 延拓定理 - 实空间版)

设 \(G\) 为实线性空间 \(E\) 的子空间，\(f\) 是定义在 \(G\) 上的实线性泛函，\(p\) 是定义在 \(E\) 上的次可加正齐次泛函。

若 \(f\) 满足控制条件：对一切 \(x \in G\)，恒有 \(f(x) \le p(x)\)。

则必存在定义在整个空间 \(E\) 上的实线性泛函 \(F\)，满足：

(i) 当 \(x \in G\) 时，\(F(x) = f(x)\)，即 \(F\) 是 \(f\) 在 \(E\) 上的一个延拓；

(ii) 当 \(x \in E\) 时，恒有 \(F(x) \le p(x)\)。

定理 12.1 的证明（点击展开）

本定理的证明采用逐步一维延拓法，再结合超限归纳法（Zorn 引理）。

第一步：证明单维延拓的可能性

如果 \(G = E\)，则直接取 \(F = f\) 即可，定理显然成立。
不妨设 \(G \neq E\)，此时必定可以任意选取一个元素 \(x_0 \in E \backslash G\)。
我们令 \(G_1\) 是由子空间 \(G\) 与元素 \(x_0\) 共同张成的扩大子空间：

\[ G_1 := \{ \alpha x_0 + x \mid \alpha \in \mathbb{R}, x \in G \} \]
对于任何 \(x', x'' \in G\)，利用 \(f\) 的线性和 \(p\) 的次可加性，有：

\[ f(x'') - f(x') = f(x'' - x') \le p(x'' - x') = p((x'' + x_0) + (-x' - x_0)) \le p(x'' + x_0) + p(-x' - x_0) \]
将项移项移位，可以得到：

\[ -p(-x' - x_0) - f(x') \le p(x'' + x_0) - f(x'') \]
上式左端仅与 \(x'\) 有关，右端仅与 \(x''\) 有关，且对所有 \(x', x'' \in G\) 均成立。因此，左端的上确界必然不超过右端的下确界：

\[ c' = \sup_{x' \in G} \{ -p(-x' - x_0) - f(x') \} \le c'' = \inf_{x'' \in G} \{ p(x'' + x_0) - f(x'') \} \]
我们在闭区间 \([c', c'']\) 中任取一个实数 \(c\)，满足 \(c' \le c \le c''\)。现在我们在扩大空间 \(G_1\) 上定义一个新的泛函 \(\tilde{f}\)：

\[ \tilde{f}(\alpha x_0 + x) := \alpha c + f(x) \]
由于 \(G_1\) 中的每个元素均可唯一地表示成 \(\alpha x_0 + x\) 的形式，因此上述表达式唯一地定义了一个线性泛函 \(\tilde{f}\)。

第二步：验证 \(\tilde{f}\) 满足控制条件 \(\tilde{f}(\alpha x_0 + x) \le p(\alpha x_0 + x)\)

1. 若 \(\alpha = 0\)，则 \(\tilde{f}(x) = f(x) \le p(x)\)，控制条件显然成立。
1. 若 \(\alpha > 0\)，由 \(c \le c''\) 的取法，有：
\[ c \le \inf_{x'' \in G} \{ p(x'' + x_0) - f(x'') \} \le p\left( \frac{x}{\alpha} + x_0 \right) - f\left( \frac{x}{\alpha} \right) \]

故有：

\[ c + f\left( \frac{x}{\alpha} \right) \le p\left( \frac{x}{\alpha} + x_0 \right) \]

两边同时乘以正数 \(\alpha\)，利用 \(f\) 的线性和 \(p\) 的正齐次性，得到：

\[ \alpha c + f(x) \le p(x + \alpha x_0) \]
1. 若 \(\alpha < 0\)，由 \(c' \le c\) 的取法，有：
\[ -p\left( -\frac{x}{\alpha} - x_0 \right) - f\left( -\frac{x}{\alpha} \right) \le c \]

通过变号与整理，得到：

\[ -c - f\left( \frac{x}{\alpha} \right) \le p\left( -\frac{x}{\alpha} - x_0 \right) \]

两边同时乘以正数 \(-\alpha\)，同样利用正齐次性，得到：

\[ \alpha c + f(x) \le p(x + \alpha x_0) \]
综上所述，我们严格证明了线性泛函可以成功向外延拓一个维度，并且在新空间 \(G_1\) 上控制条件依然保持。

第三步：利用 Zorn 引理完成全空间延拓

我们用 \(\mathscr{F}\) 表示 \(f\) 的一切满足控制条件 \(F(x) \le p(x)\) 的代数延拓 \(F\) 构成的集合，这里 \(x\) 属于 \(F\) 的定义域 \(D_F\)。由于第二步已经证明可以合法延拓到 \(G_1\) 上，故集合 \(\mathscr{F}\) 是非空集合。
在 \(\mathscr{F}\) 中规定一个偏序关系：对任意的 \(F_1, F_2 \in \mathscr{F}\)，若 \(F_2\) 是 \(F_1\) 的一个延拓（即 \(D_{F_1} \subset D_{F_2}\) 且在其上相等），则称 \(F_2\) 在 \(F_1\) 之后，记为 \(F_1 \prec F_2\)。在此偏序下，\(\mathscr{F}\) 成为一个半序集。
设 \(\mathscr{M}\) 是 \(\mathscr{F}\) 中的任意一个全序子集。我们定义一个整体定义域：

\[ D = \bigcup_{F \in \mathscr{M}} D_F \]
在 \(D\) 上我们以如下方式定义一个整体泛函 \(\varphi\)：任取 \(x \in D\)，则其必属于某个 \(D_F\)（其中 \(F \in \mathscr{M}\)），令：

\[ \varphi(x) = F(x) \]
由于 \(\mathscr{M}\) 是全序集，此定义是良好确定的（well-defined），且易证 \(\varphi\) 是以 \(D\) 为定义域的线性泛函，同时对一切 \(x \in D\) 均满足 \(\varphi(x) \le p(x)\)。
显然 \(\varphi\) 是 \(\mathscr{M}\) 中所有元素的一个上界，故 \(\varphi \in \mathscr{F}\)。半序集 \(\mathscr{F}\) 满足 Zorn 引理的条件，因此 \(\mathscr{F}\) 必定存在一个极大元，我们用 \(F_0\) 表示。
此时，极大元 \(F_0\) 的定义域 \(D_{F_0}\) 必须等于全空间 \(E\)。
如果不等于 \(E\)（即 \(D_{F_0} \neq E\)），那么我们完全可以根据第一步和第二步的方法，将 \(F_0\) 再向外延拓一个维度到某个 \(E_1\) 上，记为 \(F_1\)，且其依然满足控制条件。这说明 \(F_1 \in \mathscr{F}\) 且 \(F_0 \prec F_1\) (\(F_0 \neq F_1\))，这与 \(F_0\) 的极大性产生根本矛盾。
从而必有 \(D_{F_0} = E\)。取 \(F = F_0\)，即完成了全空间实线性延拓的证明。 \(\square\)

4. Hahn-Banach 延拓定理（复空间版本）

利用复泛函可以完全由其实部唯一确定的性质，我们可以将定理完美推广到复线性空间（亦称 Bohnenblust-Sobczyk 定理）。

定理 12.2 (Hahn-Banach 延拓定理 - 复空间版/泛 Norm 版)

设 \(G\) 是复（或实）线性空间 \(E\) 的子空间，\(p\) 是定义在 \(E\) 上的半范数（满足次可加性与绝对齐次性：\(p(\alpha x) = |\alpha|p(x)\)）。\(f\) 是定义在 \(G\) 上的有界线性泛函，且满足控制条件：

\[ |f(x)| \le p(x) \quad (\forall x \in G) \]

则必存在定义在整个空间 \(E\) 上的线性泛函 \(F\)，满足：

(i) \(F\) 是 \(f\) 在 \(E\) 上的延拓，即当 \(x \in G\) 时，\(F(x) = f(x)\)；

(ii) 对一切 \(x \in E\)，控制条件依然保持： \(|F(x)| \le p(x)\)

定理 12.2 的复空间版本证明（点击展开）

我们重点给出复线性空间下的证明思路与细节。

第一步：拆分实部

设 \(f\) 是复线性泛函，我们将其拆分为实部与虚部：\(f(x) = \varphi_0(x) + i \psi_0(x)\)，其中 \(\varphi_0, \psi_0\) 是实值泛函。
利用复线性性质 \(f(ix) = i f(x)\)，展开可得：

\[ \varphi_0(ix) + i \psi_0(ix) = i (\varphi_0(x) + i \psi_0(x)) = -\psi_0(x) + i \varphi_0(x) \]
对比实部与虚部，可得 \(\psi_0(x) = -\varphi_0(ix)\)。因此，复线性泛函可以完全由其实部表示：

\[ f(x) = \varphi_0(x) - i \varphi_0(ix) \]

第二步：延拓实部

易知 \(\varphi_0\) 是实线性空间 \(G\) 上的实线性泛函，且满足 \(\varphi_0(x) = \text{Re } f(x) \le |f(x)| \le p(x)\)。
依据已经证明的实空间版本 Hahn-Banach 定理（定理 12.1），我们可以将 \(\varphi_0\) 延拓到整个空间 \(E\) 上的实线性泛函 \(\varphi\)，并且在整个 \(E\) 上满足：

\[ \varphi(x) \le p(x) \]

第三步：重构复泛函并验证线性结构

仿照第一步的形式，我们在整个全空间 \(E\) 上重构复泛函 \(F\)：

\[ F(x) = \varphi(x) - i \varphi(ix) \]
我们验证 \(F\) 满足复线性算子的性质。对于任意的 \(x \in E\)，有：

\[ F(ix) = \varphi(ix) - i \varphi(-x) = \varphi(ix) + i \varphi(x) = i [ \varphi(x) - i \varphi(ix) ] = i F(x) \]
结合 \(\varphi\) 的实线性，容易验证 \(F\) 为复线性泛函。当 \(x \in G\) 时，由于 \(\varphi\) 是 \(\varphi_0\) 的延拓，显然有 \(F(x) = f(x)\)。

第四步：验证绝对值控制条件

任取 \(x \in E\)。我们将其复数值 \(F(x)\) 写成极坐标形式（辐角为 \(\alpha\)）：\(F(x) = |F(x)|e^{i\alpha}\)。
那么，显然 \(e^{-i\alpha}F(x) = |F(x)|\) 是一个非负的实数。利用 \(F\) 的复线性和定义式，有：

\[ |F(x)| = e^{-i\alpha}F(x) = F(e^{-i\alpha}x) = \text{Re } F(e^{-i\alpha}x) = \varphi(e^{-i\alpha}x) \]
此时，代入 \(\varphi\) 在实版定理中受到的 \(p\) 的控制关系，并结合半范数 \(p\) 的绝对齐次性，得到：

\[ |F(x)| \le p(e^{-i\alpha}x) = |e^{-i\alpha}| p(x) = p(x) \]
绝对值控制条件在全空间上得以保持，复空间版本证毕。 \(\square\)

5. 赋范线性空间中的重要推论

在赋范线性空间中，若取 \(p(x) = \|f\|_G \cdot \|x\|\)，Hahn-Banach 定理直接演变为有界线性泛函的保范延拓定理。由此可以导出一系列极为关键的几何与拓扑性质。

推论 12.3 (保范延拓)

设 \(G\) 是赋范线性空间 \(E\) 的子空间，\(f\) 是定义在 \(G\) 上的有界线性泛函。则必存在定义在整个空间 \(E\) 上的有界线性泛函 \(F\)，使得 \(F\) 是 \(f\) 的延拓，且它们的算子范数严格相等：

\[ \|F\|_E = \|f\|_G \]

推论 12.4 (非零泛函的存在性)

设 \(E\) 是赋范线性空间，\(x_0 \in E\) 是空间中的一个任意非零元素（\(x_0 \neq \theta\)）。则在对偶空间 \(E^*\) 中必定存在一个有界线性泛函 \(f_0\)，满足以下性质：

(i) \(\|f_0\| = 1\)；

(ii) \(f_0(x_0) = \|x_0\|\)。

这完美回答了本章开头提出的非零有界线性泛函的存在性问题。

推论 12.5 (元素的范数的对偶表示)

对于赋范线性空间 \(E\) 中的任意元素 \(x\)，其范数可以通过跑遍对偶空间单位球的泛函的上确界来等价表示：

\[ \|x\| = \sup_{f \in E^*, \|f\|=1} |f(x)| \]

推论 12.6 (点与子空间的分离定理)

设 \(G\) 是赋范线性空间 \(E\) 的一个子空间，且点 \(x_0 \in E\) 到子空间 \(G\) 的有截距离满足：

\[ d = \inf_{x \in G} \|x_0 - x\| > 0 \]

则在对偶空间 \(E^*\) 中必定存在一个有界线性泛函 \(f\)，满足以下分离性质：

(i) \(\|f\| = 1\)；

(ii) 对一切 \(x \in G\)，恒有 \(f(x) = 0\)（即 \(f \in G^\perp\)）；

(iii) \(f(x_0) = d\)。

6. 共鸣定理及其应用

在泛函分析中，除了开映射定理和闭图像定理外，还有一个极为核心的基本定理，它深刻揭示了算子族的点态有界性与一致有界性之间的内在联系。这个定理通常被称为一致有界性原理 (Uniform Boundedness Principle)，在经典文献中也常被称为共鸣定理 (Resonance Theorem)。

6.1 共鸣定理 (一致有界性原理)

定理 12.3 (共鸣定理 / 一致有界性原理)

设 \(X\) 是一个 Banach 空间，\(Y\) 是一个赋范线性空间。

设 \(\{T_\alpha\}_{\alpha \in I}\) 是从 \(X\) 到 \(Y\) 的一族有界线性算子（其中 \(I\) 为任意指标集）。

如果对于每一个固定的 \(x \in X\)，该算子族在 \(x\) 处的像集在 \(Y\) 中是有界的，即存在常数 \(C_x > 0\) 使得：

\[ \sup_{\alpha \in I} \|T_\alpha x\| \le C_x < \infty \]

那么，该算子族在算子范数意义下必定是一致有界的。即存在一个统一的常数 \(M > 0\)，使得对于所有的 \(\alpha \in I\)，恒有：

\[ \sup_{\alpha \in I} \|T_\alpha\| \le M < \infty \]

共鸣定理的证明（点击展开）

本定理的证明深刻依赖于完备度量空间中的 Baire 纲定理。

对于每一个正整数 \(n\)，我们定义集合：

\[ X_n = \left\{ x \in X \;\middle|\; \|T_\alpha x\| \le n, \quad \forall \alpha \in I \right\} \]

首先，我们证明 \(X_n\) 是闭集。由于每一个算子 \(T_\alpha\) 都是连续的（有界线性算子），函数 \(x \mapsto \|T_\alpha x\|\) 也是连续的。因此，集合 \(\{x \in X \mid \|T_\alpha x\| \le n\}\) 是一个闭集。

而 \(X_n\) 正是这些闭集对所有 \(\alpha \in I\) 的交集：

\[ X_n = \bigcap_{\alpha \in I} \left\{ x \in X \;\middle|\; \|T_\alpha x\| \le n \right\} \]

任意多个闭集的交集依然是闭集，因此 \(X_n\) 必定是 \(X\) 中的闭集。

根据定理的假设，对于空间 \(X\) 中的任意一个元素 \(x\)，集合 \(\{ \|T_\alpha x\| \}_{\alpha \in I}\) 是有界的。这意味着一定存在某个足够大的整数 \(n\)，使得对所有的 \(\alpha \in I\)，都有 \(\|T_\alpha x\| \le n\)。

这就说明，空间 \(X\) 中的每一个点必定属于某个 \(X_n\)，即：

\[ X = \bigcup_{n=1}^\infty X_n \]

因为 \(X\) 是 Banach 空间，它是一个完备的度量空间。根据 Baire 纲定理，一个完备空间绝不可能表示为可数个无处稠密集（稀疏集）的并集。

因此，在序列 \(\{X_n\}_{n=1}^\infty\) 中，至少存在一个闭集 \(X_{n_0}\)，它不是稀疏集。换句话说，\(X_{n_0}\) 必须包含一个非空的内部。

既然 \(X_{n_0}\) 有非空内部，那么必定存在某一点 \(x_0 \in X_{n_0}\) 以及一个半径 \(r > 0\)，使得以 \(x_0\) 为中心、\(r\) 为半径的闭球完全包含在 \(X_{n_0}\) 中：

\[ \overline{B}(x_0, r) = \{ x \in X \mid \|x - x_0\| \le r \} \subseteq X_{n_0} \]

对于闭球内的任意一点 \(z \in \overline{B}(x_0, r)\)，根据 \(X_{n_0}\) 的定义，对所有的 \(\alpha \in I\) 都有：

\[ \|T_\alpha z\| \le n_0 \]

现在，我们任取空间 \(X\) 中范数满足 \(\|x\| \le 1\) 的任意元素 \(x\)。

我们构造元素 \(z = x_0 + rx\)。显然有 \(\|z - x_0\| = \|rx\| = r\|x\| \le r\)，因此 \(z \in \overline{B}(x_0, r) \subseteq X_{n_0}\)。

由于 \(x_0 \in X_{n_0}\) 且 \(z \in X_{n_0}\)，对于任意的 \(\alpha \in I\)，我们有 \(\|T_\alpha x_0\| \le n_0\) 且 \(\|T_\alpha z\| \le n_0\)。

利用算子 \(T_\alpha\) 的线性和范数的三角不等式，我们可以对 \(T_\alpha x\) 进行放缩：

\[ \|T_\alpha(rx)\| = \|T_\alpha(z - x_0)\| = \|T_\alpha z - T_\alpha x_0\| \le \|T_\alpha z\| + \|T_\alpha x_0\| \le n_0 + n_0 = 2n_0 \]

因为 \(\|T_\alpha(rx)\| = r\|T_\alpha x\|\)，所以我们得到：

\[ r\|T_\alpha x\| \le 2n_0 \]

进而导出：

\[ \|T_\alpha x\| \le \frac{2n_0}{r} \]

这个不等式对所有 \(\|x\| \le 1\) 的 \(x\) 以及所有的 \(\alpha \in I\) 都成立。根据算子范数的定义：

\[ \|T_\alpha\| = \sup_{\|x\| \le 1} \|T_\alpha x\| \le \frac{2n_0}{r} \]

我们只需取 \(M = \frac{2n_0}{r}\)，即可得出 \(\sup_{\alpha \in I} \|T_\alpha\| \le M < \infty\)。至此，共鸣定理证明完毕。 \(\square\)

6.2 共鸣定理的重要应用

共鸣定理揭示了“局部（点态）性质”与“全局（一致）性质”之间的桥梁，在泛函分析中有着极为广泛的应用。

6.2.1 算子列的强收敛性 (Banach-Steinhaus 定理)

定理 12.4 (Banach-Steinhaus 定理)

设 \(X\) 是 Banach 空间，\(Y\) 是赋范线性空间。

设 \(\{T_n\}_{n=1}^\infty\) 是一列从 \(X\) 到 \(Y\) 的有界线性算子。如果对于空间 \(X\) 中的任意一点 \(x\)，序列 \(\{T_n x\}\) 在 \(Y\) 中收敛（即算子列强收敛），那么：

(i) 存在一个统一的界 \(M > 0\)，使得 \(\sup_{n} \|T_n\| \le M\)。

(ii) 我们定义极限算子 \(T(x) = \lim_{n \to \infty} T_n x\)，则 \(T\) 必定也是一个有界线性算子，即 \(T \in \mathcal{B}(X, Y)\)。

证明（点击展开）

因为对于每一个 \(x \in X\)，序列 \(\{T_n x\}\) 都是收敛的，而收敛序列必定是有界的。因此存在常数 \(C_x\) 使得 \(\sup_n \|T_n x\| \le C_x\)。
\(X\) 是 Banach 空间，这恰好满足共鸣定理的条件。直接应用共鸣定理，立即得到 \(\sup_n \|T_n\| \le M < \infty\)，此即结论 (i)。
对于结论 (ii)，首先根据极限的线性运算法则，极限算子 \(T\) 显然满足可加性和齐次性，因此 \(T\) 是一个线性算子。
接下来证明 \(T\) 的有界性。对于任意的 \(x \in X\)，根据范数的连续性，有：

\[ \|Tx\| = \left\| \lim_{n \to \infty} T_n x \right\| = \lim_{n \to \infty} \|T_n x\| \]

由于对所有的 \(n\) 都有 \(\|T_n x\| \le \|T_n\| \|x\| \le M \|x\|\)，对其取极限自然得到：

\[ \|Tx\| \le M \|x\| \]

这完美地证明了算子 \(T\) 也是有界的，并且其范数满足 \(\|T\| \le M\)。 \(\square\)

6.2.2 弱有界集与强有界集的等价性

在赋范线性空间中，子集的有界性可以从拓扑的两种不同视角来看。

定理 12.5

设 \(E\) 是一个赋范线性空间，\(A\) 是 \(E\) 中的一个子集。

如果 \(A\) 是弱有界的（即对于对偶空间 \(E^*\) 中的任意一个有界线性泛函 \(f\)，集合 \(\{f(x) \mid x \in A\}\) 都是有界的），那么 \(A\) 必定是强有界的（即存在常数 \(M\)，使得对所有 \(x \in A\) 都有 \(\|x\| \le M\)）。

证明（点击展开）

为了应用共鸣定理，我们将空间中的元素反转视为泛函。借助于典范映射，对于每一个 \(x \in A\)，我们定义二次对偶空间 \(E^{**}\) 中的泛函 \(x^{**}\)：

\[ x^{**}(f) = f(x), \quad \forall f \in E^* \]

根据定理的假设，对于任何固定的 \(f \in E^*\)，数值集合 \(\{ f(x) \mid x \in A \}\) 是有界的。这等价于说：对于任意的 \(f \in E^*\)，存在常数 \(C_f\) 使得：

\[ \sup_{x \in A} |x^{**}(f)| \le C_f < \infty \]

我们注意到，对偶空间 \(E^*\) 始终是一个完备的 Banach 空间，而 \(\{x^{**}\}_{x \in A}\) 是定义在 \(E^*\) 上的一族有界线性算子。
这完全满足共鸣定理的条件。应用共鸣定理，这族泛函在算子范数意义下必定是一致有界的，即存在常数 \(M\)，使得：

\[ \sup_{x \in A} \|x^{**}\| \le M \]

回顾典范映射的性质，我们已经证明过 \(\|x^{**}\| = \|x\|\)。因此：

\[ \sup_{x \in A} \|x\| \le M \]

这说明子集 \(A\) 在原空间的范数下是有界的，即 \(A\) 是强有界集。 \(\square\)

6.2.3 连续函数傅里叶级数的发散性

这是共鸣定理在经典分析中最著名、最震撼的应用之一：它能够非构造性地证明，存在连续函数，其傅里叶级数在某一点上是发散的。

定理 12.6

在周期为 \(2\pi\) 的连续函数空间 \(C_{2\pi}\) 中，必定存在一个连续函数 \(f\)，使得它的傅里叶级数在点 \(t=0\) 处不收敛（发散）。

证明概览（点击展开）

设 \(X = C_{2\pi}\) 是所有以 \(2\pi\) 为周期的连续函数构成的 Banach 空间，赋予最大值范数 \(\|f\|_\infty = \max_{t} |f(t)|\)。
设 \(Y = \mathbb{R}\)。对于任何 \(f \in C_{2\pi}\)，其傅里叶级数的前 \(n\) 项部分和在 \(t=0\) 处的值可以通过 Dirichlet 积分表示：

\[ S_n(f, 0) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) D_n(t) dt \]

其中 \(D_n(t) = \frac{\sin((n+1/2)t)}{\sin(t/2)}\) 是 Dirichlet 核。
我们定义一列有界线性泛函 \(T_n : C_{2\pi} \to \mathbb{R}\) 为：

\[ T_n(f) = S_n(f, 0) \]

通过计算可以严格证明，泛函 \(T_n\) 的算子范数正好等于 Dirichlet 核的 \(L^1\) 范数：

\[ \|T_n\| = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |D_n(t)| dt \]

数学分析中的经典结论表明，Dirichlet 核的积分是无界的（其增长阶对数级），即当 \(n \to \infty\) 时：

\[ \|T_n\| \to \infty \]

我们采用反证法。如果每一个连续函数 \(f \in C_{2\pi}\) 的傅里叶级数在 \(t=0\) 处都收敛，那么对于每一个给定的 \(f\)，序列 \(\{T_n(f)\}\) 必定是收敛的，因而必然是有界的：

\[ \sup_n |T_n(f)| < \infty \quad (\forall f \in C_{2\pi}) \]

既然 \(X\) 是 Banach 空间，并且满足点态有界条件。根据共鸣定理，必定存在一个统一的常数 \(M\) 使得：

\[ \sup_n \|T_n\| \le M < \infty \]

这与我们之前计算得出的 \(\|T_n\| \to \infty\) 产生了不可调和的彻底矛盾！
矛盾表明，原假设必定是错误的。因此，必定至少存在一个连续函数 \(f \in C_{2\pi}\)，使得它的傅里叶级数序列 \(\{S_n(f, 0)\}\) 是无界的，从而在 \(t=0\) 处发散。 \(\square\)