2.1 可测函数的概念与性质
在测度空间 \((X, \mathcal{M})\) 中，可测函数是研究积分理论的核心对象。正如连续函数保持了拓扑空间中的开集结构，可测函数则保持了可测空间之间的 \(\sigma\)-代数结构。
1. 映射与逆像的性质
在定义可测函数之前，我们需要回顾集合逆像的基本性质。逆像映射 \(f^{-1}: 2^Y \to 2^X\) 与集合的各种运算是完全相容的。
引理 2.1.1 (逆像的性质)
设 \(f: X \to Y\) 是一个映射，\(E, E_{\lambda} \subset Y\)，则：
- 并集保持：
- 交集保持：
- 补集保持：
由此性质可知，若 \(\mathcal{N}\) 是 \(Y\) 上的 \(\sigma\)-代数，则集族 \(\mathcal{F} = \{E \subset Y : f^{-1}(E) \in \mathcal{M}\}\) 构成 \(Y\) 上的一个 \(\sigma\)-代数。
2. 可测函数的定义与基本判定
定义 2.1.1 (\((M, N)\)-可测性)
设 \((X, \mathcal{M})\) 和 \((Y, \mathcal{N})\) 是两个可测空间。称映射 \(f: X \to Y\) 是 \((M, N)\)-可测的（或简称为可测的），如果对于任何 \(E \in \mathcal{N}\)，其逆像都满足：
当目标空间是实数集 \(\mathbb{R}\) 且配备 Borel \(\sigma\)-代数 \(\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\) 时，我们称 \(f\) 为 \(\mathcal{M}\)-可测函数。
-
Borel 可测函数：若 \(f: (\mathbb{R}, \mathcal{B}_{\mathbb{R}}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}_{\mathbb{R}})\) 是可测的。
-
Lebesgue 可测函数：若 \(f: (\mathbb{R}, \mathcal{L}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}_{\mathbb{R}})\) 是可测的。
命题 2.1.1 (生成元判定法)
若目标空间的 \(\sigma\)-代数 \(\mathcal{N}\) 由集族 \(\Sigma\) 生成（即 \(\mathcal{N} = \mathcal{M}(\Sigma)\)），则 \(f\) 是 \((M, N)\)-可测的，当且仅当：
命题 2.1.1 的证明
必要性：如果 \(f\) 是可测的，由定义，对所有 \(E \in \mathcal{N}\) 都有 \(f^{-1}(E) \in \mathcal{M}\)。因为 \(\Sigma \subset \mathcal{N}\)，自然对所有 \(E \in \Sigma\) 成立。
充分性：构造集族 \(\mathcal{F} = \{E \subset Y : f^{-1}(E) \in \mathcal{M}\}\)。由引理 2.1.1 知，因为逆像运算与集合的并、交、补运算完全交换，所以 \(\mathcal{F}\) 是 \(Y\) 上的一个 \(\sigma\)-代数。 根据条件，\(\Sigma \subset \mathcal{F}\)。由于 \(\mathcal{N}\) 是包含 \(\Sigma\) 的最小 \(\sigma\)-代数，必然有 \(\mathcal{N} = \mathcal{M}(\Sigma) \subset \mathcal{F}\)。这说明对任意 \(E \in \mathcal{N}\)，都有 \(f^{-1}(E) \in \mathcal{M}\)，即 \(f\) 是可测的。
推论 (连续映射的可测性)
若 \(X, Y\) 为拓扑空间，\(f: X \to Y\) 是连续映射，则 \(f\) 是 \((\mathcal{B}_X, \mathcal{B}_Y)\)-可测的（即 Borel 可测的）。
推论的证明
拓扑空间 \(Y\) 的 Borel \(\sigma\)-代数 \(\mathcal{B}_Y\) 是由 \(Y\) 中所有的开集族 \(\mathcal{T}_Y\) 生成的。 任取开集 \(V \in \mathcal{T}_Y\)，由于 \(f\) 是连续映射，其逆像 \(f^{-1}(V)\) 必为 \(X\) 中的开集。 而 \(X\) 中的开集显然属于其 Borel \(\sigma\)-代数 \(\mathcal{B}_X\)。根据命题 2.1.1，连续函数必然是 Borel 可测的。
3. 实可测函数的等价条件
对于定义在实数轴上的函数，由于 Borel \(\sigma\)-代数可以由各种形式的射线生成，我们有以下常用的等价判定准则。
命题 2.1.2 (实可测函数的等价条件)
对于映射 \(f: X \to \mathbb{R}\)，下列命题是等价的：
-
(a) \(f\) 是可测的（即 \(f^{-1}(B) \in \mathcal{M}, \forall B \in \mathcal{B}_{\mathbb{R}}\)）。
-
(b) 对于任何 \(a \in \mathbb{R}\)，\(f^{-1}((a, +\infty)) = \{x \in X : f(x) > a\} \in \mathcal{M}\)。
-
(c) 对于任何 \(a \in \mathbb{R}\)，\(f^{-1}([a, +\infty)) = \{x \in X : f(x) \ge a\} \in \mathcal{M}\)。
-
(d) 对于任何 \(a \in \mathbb{R}\)，\(f^{-1}((-\infty, a)) = \{x \in X : f(x) < a\} \in \mathcal{M}\)。
-
(e) 对于任何 \(a \in \mathbb{R}\)，\(f^{-1}((-\infty, a]) = \{x \in X : f(x) \le a\} \in \mathcal{M}\)。
命题 2.1.2 的证明
因为 \(\mathbb{R}\) 上的 Borel \(\sigma\)-代数 \(\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\) 是由开射线族 \(\Sigma = \{(a, +\infty) : a \in \mathbb{R}\}\) 生成的，根据命题 2.1.1，(a) 与 (b) 等价。 接下来只需证明 (b), (c), (d), (e) 之间可以通过 \(\sigma\)-代数的封闭性相互推导：
- (b) \(\Rightarrow\) (c)：由于 \([a, +\infty) = \bigcap_{n=1}^\infty (a - \frac{1}{n}, +\infty)\)，两边取逆像得：
由 (b) 知等号右边每个集合都在 \(\mathcal{M}\) 中，根据 \(\sigma\)-代数对可数交封闭，得出左边集合也在 \(\mathcal{M}\) 中。
- (c) \(\Rightarrow\) (d)：由于 \((-\infty, a) = ([a, +\infty))^c\)，两边取逆像得：
由 (c) 知 \(f^{-1}([a, +\infty)) \in \mathcal{M}\)，再由 \(\sigma\)-代数对补集封闭，得出原像属于 \(\mathcal{M}\)。
-
(d) \(\Rightarrow\) (e)：类似于前面，利用 \((-\infty, a] = \bigcap_{n=1}^\infty (-\infty, a + \frac{1}{n})\) 取逆像即可。
-
(e) \(\Rightarrow\) (b)：利用 \((a, +\infty) = ((-\infty, a])^c\) 取逆像和补集即可完成循环论证。
4. 局部可测性与复合、积空间
定义 2.1.2 (局部可测性)
设 \(E \in \mathcal{M}\) 为一个可测集。称函数 \(f\) 在 \(E\) 上是可测的，如果对于任意 \(B \in \mathcal{B}_{\mathbb{R}}\)，有：
这等价于将全空间限制为 \(E\)，即 \(f|_E\) 在子 \(\sigma\)-代数 \(\mathcal{M}_E = \{A \cap E : A \in \mathcal{M}\}\) 意义下是可测的。
定理 2.1.2 (复合性质)
若 \(f: X \to Y\) 是 \((M, N)\)-可测的，\(g: Y \to Z\) 是 \((N, P)\)-可测的，则复合映射 \(g \circ f: X \to Z\) 是 \((M, P)\)-可测的。
定理 2.1.2 的证明
对于任意 \(E \in P\)，由于 \(g\) 是 \((N, P)\)-可测的，有 \(g^{-1}(E) \in N\)。 又因为 \(f\) 是 \((M, N)\)-可测的，故 \(f^{-1}(g^{-1}(E)) \in M\)。 显然 \((g \circ f)^{-1}(E) = f^{-1}(g^{-1}(E)) \in M\)，得证。特别地，可测函数与连续函数的复合依然是可测的。
对于积空间 \(Y = \prod_{\alpha \in A} Y_{\alpha}\) 及其上的乘积 \(\sigma\)-代数 \(\mathcal{N} = \bigotimes_{\alpha \in A} \mathcal{N}_{\alpha}\)，设 \(\pi_\alpha : Y \to Y_\alpha\) 为投影映射。
命题 2.1.3 (积空间的可测性)
映射 \(f: X \to Y\) 是 \((M, N)\)-可测的，当且仅当其每个坐标映射 \(f_{\alpha} = \pi_{\alpha} \circ f\) 都是 \((M, N_{\alpha})\)-可测的。
命题 2.1.3 的证明
必要性 (\(\Rightarrow\))：若 \(f\) 可测，由于投影映射 \(\pi_\alpha\) 总是 \((N, N_\alpha)\)-可测的，根据复合性质，\(f_\alpha = \pi_\alpha \circ f\) 必定是 \((M, N_\alpha)\)-可测的。
充分性 (\(\Leftarrow\))：乘积 \(\sigma\)-代数 \(\mathcal{N}\) 是由集族 \(\Sigma = \{\pi_\alpha^{-1}(E_\alpha) : E_\alpha \in N_\alpha, \alpha \in A\}\) 生成的。 对于 \(\Sigma\) 中的任意元素，其逆像为：
由假设 \(f_\alpha\) 可测，所以上式属于 \(\mathcal{M}\)。再根据生成元判定法（命题 2.1.1），\(f\) 是可测的。