第七章：乘积空间中的映射与连通性
在前面的章节中，我们已经建立了拓扑空间、连续映射以及乘积拓扑的基础。本章将首先补充乘积空间中连续映射的泛性质以及可度量化空间的概念，随后深入探讨点集拓扑中极具几何直观的核心拓扑不变量——连通性（Connectedness）与道路连通性（Path-connectedness）。
1. 乘积空间中的连续映射与可度量化
在研究乘积空间 \(\prod X_i\) 时，我们自然会关心如何判断一个映射进入该乘积空间是否是连续的。乘积拓扑的构造（使得所有投影映射连续的最粗糙拓扑）为我们提供了一个极其优美的判定法则。
1.1 映射入乘积空间的连续性
设 \((X_i, \tau_i)_{i \in I}\) 是一族拓扑空间，\(\prod_{i \in I} X_i\) 是赋予了乘积拓扑的乘积空间。令 \(p_i: \prod_{j \in I} X_j \to X_i\) 为第 \(i\) 个坐标的自然投影映射。
定理 7.1 (映射入乘积空间的连续性)
设 \(Y\) 是任意拓扑空间，\(f: Y \to \prod_{i \in I} X_i\) 是一个映射。我们定义 \(f\) 的第 \(i\) 个坐标函数为 \(f_i = p_i \circ f: Y \to X_i\)。
那么映射 \(f\) 是连续的，当且仅当每一个坐标函数 \(f_i\) 都是连续的。
定理 7.1 的证明
必要性 (\(\implies\))：
已知 \(f\) 是连续映射。
根据乘积拓扑的定义，每一个自然投影映射 \(p_i: \prod X_j \to X_i\) 都是连续的。
由于连续映射的复合仍然是连续映射，因此每一个坐标函数 \(f_i = p_i \circ f\) 必然是连续的。
充分性 (\(\impliedby\))：
已知对所有的 \(i \in I\)，坐标函数 \(f_i\) 都是连续的。我们需要证明 \(f\) 是连续的。
为了证明 \(f\) 连续，只需证明乘积拓扑中的任意一个子基元素 (Subbasis element) 的原像在 \(Y\) 中是开集即可。
乘积拓扑的标准子基元素形式为 \(p_i^{-1}(U_i)\)，其中 \(U_i\) 是 \(X_i\) 中的开集。
考察该子基元素在 \(f\) 下的原像：
由于假设 \(f_i\) 是连续的，且 \(U_i\) 是开集，因此 \(f_i^{-1}(U_i)\) 必定是 \(Y\) 中的开集。
既然所有子基元素的拉回都是开集，由于开集都可以表示为子基元素的有限交与任意并，故映射 \(f\) 在整个乘积空间上是连续的。 \(\square\)
1.2 可度量化空间
尽管拓扑空间抛弃了距离的依赖，但并非所有拓扑空间都变得“不可捉摸”。有些拓扑空间的开集结构实际上完全可以由某个隐藏的度量来生成。
定义 7.1 (可度量化空间 Metrizable Space)
一个拓扑空间 \((X, \tau)\) 被称为可度量化的，如果存在 \(X\) 上的某个度量（距离函数）\(d: X \times X \to \mathbb{R}\)，使得由度量 \(d\) 的开球所诱导的度量拓扑 \(\tau_d\) 恰好等于原拓扑 \(\tau\)（即 \(\tau = \tau_d\)）。
例如，实数空间 \(\mathbb{R}\) 以及欧氏空间 \(\mathbb{R}^n = \prod_{i=1}^n \mathbb{R}\) 在标准拓扑下都是可度量化空间。在 \(\mathbb{R}^2\) 中，欧氏距离 \(d_1(x, y) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\) 与最大值距离 \(d_2(x, y) = \max\{|x_1 - x_2|, |y_1 - y_2|\}\) 诱导了相同的拓扑，因为它们的开球可以互相嵌套。
2. 连通性的基本概念
在直观上，一个空间如果是“一整块”而没有被分裂成若干部分，我们称它为连通的。我们通过“分离”的对立面来严格定义这一概念。
定义 7.2 (分离与连通性)
设 \((X, \tau)\) 是一个拓扑空间。
- 分割 (Separation)：如果存在两个非空的开集 \(U\) 和 \(V\)，满足：
那么二元组 \((U, V)\) 就称为空间 \(X\) 的一个分割。
- 连通 (Connected)：如果拓扑空间 \(X\) 不存在任何分割，则称 \(X\) 是连通的。
对于 \(X\) 的一个子集 \(A \subseteq X\)，如果 \(A\) 赋予相对拓扑（子空间拓扑）后作为拓扑空间是连通的，则称集合 \(A\) 是 \(X\) 中的连通子集。
我们有以下关于连通性的等价判定准则，它在实际证明中非常有用：
- 等价刻画：拓扑空间 \(X\) 是连通的，当且仅当 \(X\) 中既是开集又是闭集的子集（称为 Clopen set）只有空集 \(\emptyset\) 和全空间 \(X\) 本身。
实例分析：
-
\(X = [0, 1) \cup (1, 2]\)（赋予从 \(\mathbb{R}\) 诱导的相对拓扑）是不连通的。我们可以取相对开集 \(U = [0, 1)\) 和 \(V = (1, 2]\)。它们非空、不相交，且并集为 \(X\)。
-
有理数集 \(\mathbb{Q}\) 是极端不连通的（完全不连通空间）。因为对于任意的无理数 \(\alpha\)（例如 \(\sqrt{2}\)），我们总可以将其作为“刀”将 \(\mathbb{Q}\) 切开。设 \(U = (-\infty, \alpha) \cap \mathbb{Q}\) 和 \(V = (\alpha, +\infty) \cap \mathbb{Q}\)。这两个集合在 \(\mathbb{Q}\) 中都是相对开集（也是相对闭集），非空，且不相交，构成了 \(\mathbb{Q}\) 的一个分割。
3. 连通集的核心性质
连通集在常见的拓扑操作（如取并集、取闭包、连续映射）下表现出极好的保持性。
3.1 连通集的并集
定理 7.2 (具有公共点的连通族之并是连通的)
设 \(\{A_i\}_{i \in I}\) 是拓扑空间 \(X\) 中的一族连通子集。
如果这族集合拥有一个公共点，即 \(\bigcap_{i \in I} A_i \neq \emptyset\)，那么它们的并集 \(A = \bigcup_{i \in I} A_i\) 也是连通的。
定理 7.2 的证明
采用反证法。
假设 \(A\) 是不连通的，即存在 \(A\) 的一个分割。这意味着存在 \(A\) 中的非空相对开集 \(C\) 和 \(D\)，满足 \(C \cap D = \emptyset\) 且 \(C \cup D = A\)。
因为所有的 \(A_i\) 都有一个公共交点，设取 \(p \in \bigcap_{i \in I} A_i\)。
由于 \(p\) 属于 \(A = C \cup D\)，那么 \(p\) 必定属于 \(C\) 或者属于 \(D\)。不妨假设 \(p \in C\)。
现在我们考察每一个单独的连通集 \(A_i\)。
由于 \(C\) 和 \(D\) 在 \(A\) 中是开集，所以 \(A_i \cap C\) 和 \(A_i \cap D\) 构成了 \(A_i\) 上的相对开集，并且它们不相交，并集为 \(A_i\)。这看起来像是 \(A_i\) 的一个分割。
但是已知 \(A_i\) 是连通的，连通集不能被分割。因此，\(A_i \cap C\) 和 \(A_i \cap D\) 这两个集合中，必定有一个是空集，另一个等于整个 \(A_i\)。
因为公共点 \(p \in A_i\)，并且我们已假设 \(p \in C\)，所以必定有 \(p \in A_i \cap C\)。这说明 \(A_i \cap C \neq \emptyset\)。
这就迫使 \(A_i \cap D = \emptyset\)，进而推导出 \(A_i \subseteq C\)。
这个推论对所有的 \(i \in I\) 都成立。因此，整个并集 \(A = \bigcup_{i \in I} A_i\) 都被包含在了 \(C\) 中。
这就意味着 \(D\) 必定是空集（因为 \(C \cup D = A \subseteq C\) 且 \(C \cap D = \emptyset\)）。但这与 \(C, D\) 作为分割必须均为“非空集”的定义产生了矛盾！
假设错误，因此并集 \(A\) 必定是连通的。 \(\square\)
3.2 连通集的闭包
定理 7.3 (连通集的闭包依然连通)
设 \(A\) 是拓扑空间 \(X\) 中的连通子集。
如果 \(B\) 是一个满足 \(A \subseteq B \subseteq \overline{A}\) 的子集，那么 \(B\) 必定也是连通的。特别是，当 \(B = \overline{A}\) 时，\(A\) 的闭包 \(\overline{A}\) 也是连通的。
该定理告诉我们，如果你在一个连通集上添加它的一些（或全部）极限点，它绝对不会因为这些新加的点而变得“断裂”。
3.3 连续映射保持连通性
这是连通性作为拓扑不变量的最重要定理。
定理 7.4 (连续映射保持连通性)
设 \(f: X \to Y\) 是一个连续映射。如果定义域 \(X\) 是连通的，那么它的像集 \(f(X)\) 在 \(Y\) 中也是连通的。
定理 7.4 的证明
采用反证法。
假设像集 \(f(X)\) 是不连通的。则存在 \(f(X)\) 的一个分割，即存在 \(f(X)\) 中的相对开集 \(U\) 和 \(V\)，满足 \(U \neq \emptyset\)，\(V \neq \emptyset\)，\(U \cap V = \emptyset\)，且 \(U \cup V = f(X)\)。
既然 \(U, V\) 是 \(f(X)\) 的相对开集，那么它们在连续映射 \(f\) 下的原像 \(f^{-1}(U)\) 和 \(f^{-1}(V)\) 必定是 \(X\) 中的开集。
观察这两个原像：
-
因为 \(U\) 和 \(V\) 非空且都在像集内，故原像 \(f^{-1}(U)\) 和 \(f^{-1}(V)\) 均非空。
-
因为 \(U \cap V = \emptyset\)，拉回之后必定也有 \(f^{-1}(U) \cap f^{-1}(V) = f^{-1}(U \cap V) = \emptyset\)。
-
因为 \(U \cup V = f(X)\)，所以 \(X\) 中的每一个点都被映射到了 \(U \cup V\) 中，因此 \(f^{-1}(U) \cup f^{-1}(V) = X\)。
这样，我们就找到了 \(X\) 的两个非空、互不相交且并集为全空间的开集 \(f^{-1}(U)\) 和 \(f^{-1}(V)\)。
这说明 \(X\) 是不连通的，但这与已知条件“\(X\) 是连通的”完全矛盾！
故假设不成立，像集 \(f(X)\) 必定是连通的。 \(\square\)
推论（介值定理的最广义形式）：如果 \(X\) 是连通空间，且存在连续映射 \(f: X \to \mathbb{R}\)，那么 \(f(X)\) 必定是实数轴上的连通子集（即一个区间）。这意味着对于像集中的任意两点 \(a, b \in f(X)\)，任何介于 \(a\) 和 \(b\) 之间的值 \(c\)，都必然属于像集 \(f(X)\)（即存在原像）。
3.4 乘积空间的连通性
定理 7.5
如果 \(X_1\) 和 \(X_2\) 都是连通空间，那么它们的乘积空间 \(X_1 \times X_2\) 也是连通的。 通过数学归纳法，任意有限个连通空间的乘积仍然是连通的。
证明思路简述：固定一个点 \(y \in X_2\)，切片 \(X_1 \times \{y\}\) 与 \(X_1\) 同胚，因而是连通的。类似地，对于任意的 \(x \in X_1\)，切片 \(\{x\} \times X_2\) 也是连通的。构造十字架形状的集合 \(C_x = (X_1 \times \{y\}) \cup (\{x\} \times X_2)\)。由于这两部分交于点 \((x, y)\)，由定理 7.2，并集 \(C_x\) 是连通的。然后将全空间写成 \(X_1 \times X_2 = \bigcup_{x \in X_1} C_x\)，所有的 \(C_x\) 都具有公共部分 \(X_1 \times \{y\}\)。再次应用定理 7.2 即证全空间连通。
4. 道路连通性 (Path Connectedness)
连通性是一个纯粹依赖开集的拓扑概念，而在直观几何中，我们通常认为“连通”意味着能用一条曲线把任意两点连起来，这就引出了道路连通性。
定义 7.3 (道路与道路连通)
-
道路 (Path)：设 \(X\) 为拓扑空间，\(x, y \in X\)。从点 \(x\) 到点 \(y\) 的一条道路是一个从闭区间 \([0, 1]\) 到 \(X\) 的连续映射 \(\gamma: [0, 1] \to X\)，满足起始条件 \(\gamma(0) = x\) 且终止条件 \(\gamma(1) = y\)。
-
道路连通 (Path-connected)：如果空间 \(X\) 中的任意两点 \(x\) 和 \(y\)，都存在一条连接它们的道路 \(\gamma\)，那么称空间 \(X\) 是道路连通的。
定理 7.6
如果一个空间是道路连通的，那么它必定是连通的。
证明要点：任给点 \(x_0 \in X\)，对于其余任意一点 \(y \in X\)，存在一条道路 \(\gamma_y: [0, 1] \to X\)。区间 \([0, 1]\) 作为实数子区间是连通的，故像集 \(C_y = \gamma_y([0,1])\) 是连通的子集。且所有的 \(C_y\) 都包含公共点 \(x_0 = \gamma_y(0)\)。因此全空间 \(X = \bigcup_{y \in X} C_y\) 是连通族的并集，所以必定连通。
注意！逆命题不成立。 连通空间不一定是道路连通的。
- 经典反例：拓扑学家的正弦曲线 (Topologist's Sine Curve)。 定义集合 \(A = \{(x, \sin(1/x)) \mid x \in (0, 1]\} \subset \mathbb{R}^2\)。由于 \(A\) 是区间 \((0,1]\) 的连续像，因此 \(A\) 是连通的。 取 \(A\) 在平面上的闭包 \(\overline{A} = A \cup (\{0\} \times [-1, 1])\)。由定理 7.3 知，\(\overline{A}\) 是连通的。 然而，\(\overline{A}\) 并不是道路连通的。因为原点处的垂直线段与剧烈振荡的曲线部分被“撕裂”开了，你无法在有限的时间 \(t\) 内，用一条连续的道路跨越无限次的上下振荡，从原点走到右侧的曲线上。
5. 连通分支 (Connected Components)
当一个空间整体不连通时，我们可以研究它内部“最大”的连通碎块。
定义 7.4 (连通分支)
在拓扑空间 \(X\) 中，定义一个等价关系 \(\sim\)：
这个等价关系将全空间 \(X\) 划分成了若干个互不相交的等价类。这些等价类被称为空间 \(X\) 的连通分支 (Connected Components)。
连通分支具有极其优美的闭合性质：任何一个连通分支都必定是闭集。 （这是因为如果连通分支不是闭集，根据定理 7.3，取它的闭包后会得到一个严格更大的连通子集，这与等价类“极大连通子集”的本质相矛盾）。
6. 利用连通性区分拓扑空间
同胚映射不仅保持连通性，还会保持局部连通的结构（例如去掉一个点后的连通性）。这为我们提供了一个强有力的“拓扑不变量”工具，用于证明空间之间不同胚。
割点方法 (Cut-point Method)： 如果一个空间 \(X\) 在去掉某个点 \(p\) 之后（即 \(X \setminus \{p\}\)）变得不连通了，我们称 \(p\) 为一个割点 (Cut point)。
-
实例分析：区间与圆周不同胚
考察开区间 \((0, 1)\)、半开半闭区间 \([0, 1)\) 和单位圆周 \(S^1\)。
-
在开区间 \((0, 1)\) 中，任何一个点都是割点。去掉任意一点 \(c \in (0, 1)\)，空间就断裂为 \((0, c) \cup (c, 1)\) 两个不相交的开集。
-
在半闭区间 \([0, 1)\) 中，去掉端点 \(0\) 后，剩余部分 \((0, 1)\) 仍然是连通的。所以 \([0, 1)\) 有恰好一个非割点。
-
在圆周 \(S^1\) 中，去掉任何一个点，剩余的部分（退化为一条开线段）仍然是连通的。所以 \(S^1\) 没有任何割点。
既然割点的数量（或者是否存在割点）在同胚映射下必须保持不变，而这三个空间的割点性质截然不同，因此这三个空间两两互不同胚。
-