第五章：赋范线性空间基础
赋范线性空间是泛函分析研究的基本对象。它不仅具有线性代数中的代数结构（线性运算），还通过引入“范数”建立了拓扑结构（距离与收敛）。本章将从线性空间出发，逐步过渡到赋范线性空间，并介绍几类经典的函数空间。
1. 线性空间 (Linear Space)
定义 5.1 (线性空间)
设 \(E\) 是一个非空集合，\(K\) 是实数域 \(\mathbb{R}\) 或复数域 \(\mathbb{C}\)。若 \(E\) 满足以下性质，则称 \(E\) 为线性空间：
(i) 加法群性质：对任意 \(x, y, z \in E\)，对应唯一的一个和 \(x+y \in E\)，满足：
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(a) 交换律：\(x+y = y+x\)；
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(b) 结合律：\((x+y)+z = x+(y+z)\)；
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(c) 存在零元素 \(\theta\)，使得对任一 \(x \in E\)，有 \(x+\theta = x\)；
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(d) 任何 \(x \in E\)，存在加法逆元素 \(-x\) 使得 \(x+(-x) = \theta\)。
(ii) 数乘性质：对任意 \(x, y \in E\) 以及任何数 \(\alpha, \beta \in K\)，对应唯一的一个积 \(\alpha x \in E\)，满足：
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(a) \(\alpha(\beta x) = (\alpha\beta)x\)；
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(b) \(1 \cdot x = x\)；
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(c) \((\alpha+\beta)x = \alpha x + \beta x\)；
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(d) \(\alpha(x+y) = \alpha x + \alpha y\)。
线性空间中的元素又称为向量，元素的相加以及数与元素的相乘统称为线性运算。例如 \(C[0,1]\) 和 \(L^2[0,1]\) 都是线性空间。
2. 线性空间的性质
由线性空间的定义可导出下列性质：
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(i) \(0 \cdot x = \theta\)。
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(ii) \((-1)x = -x\)。
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(iii) \(\alpha \cdot \theta = \theta\)。
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(iv) \(\alpha x = \theta\) 的充分必要条件是 \(\alpha = 0\) 或 \(x = \theta\)。
证明细节
关于 (i) 的证明： 因为 \(2(0 \cdot x) = (2 \cdot 0)x = 0 \cdot x\)，两边减去 \(0 \cdot x\) 得：
关于 (ii) 的证明： 由于 \((-1)x + x = (-1 + 1)x = 0 \cdot x = \theta\)，根据逆元素的唯一性知 \((-1)x = -x\)。
关于 (iii) 的证明：
关于 (iv) 的证明： 充分性显然。必要性：若 \(\alpha x = \theta\) 且 \(\alpha \neq 0\)，则：
3. 子空间、张成与同构
3.1 子空间 (Subspace)
定义 5.2 (子空间)
设 \(E_0\) 是线性空间 \(E\) 的一个子集。若 \(E_0\) 对 \(E\) 中的线性运算封闭（即对任意 \(x, y \in E_0\) 及 \(\alpha \in K\)，有 \(x+y \in E_0\) 且 \(\alpha x \in E_0\)），则称 \(E_0\) 为 \(E\) 的线性子空间。
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不同于 \(E\) 本身的子空间称为 \(E\) 的真子空间。
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线性无关：若集合 \(A \subset E\) 中任意有限个元素均线性无关，则称 \(A\) 线性无关。
3.2 张成的子空间 span L
定义 5.3 (span L)
设 \(L\) 是线性空间 \(E\) 的一个非空子集，由 \(L\) 中元素的所有可能有限线性组合构成的集合称为由 \(L\) 张成的子空间，记为 \(\text{span } L\)：
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\(\text{span } L\) 是包含 \(L\) 的最小子空间，也是所有包含 \(L\) 的子空间的交。
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例如在 \(L^2[-\pi, \pi]\) 中，子集 \(L = \{ \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin kt, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos kt \}_{k=0}^{\infty}\) 张成的子空间即为全体三角多项式。
3.3 线性空间的同构
- 设 \(E, E'\) 都是线性空间。若存在一个从 \(E\) 到 \(E'\) 的双射 \(T\)，满足 \(T(x+y) = Tx + Ty\) 且 \(T(ax) = aTx\)，则称 \(E\) 与 \(E'\) 同构。
4. 直接和 (Direct Sum)
定义 5.4 (直接和)
设 \(L_1, \dots, L_n\) 是 \(E\) 的子空间。如果任一元素 \(x \in E\) 可以唯一地表示成 \(x = x_1 + \dots + x_n\) (\(x_k \in L_k\))，则称 \(E\) 是 \(L_1, \dots, L_n\) 的直接和，记为 \(E = L_1 \oplus \dots \oplus L_n\)。
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性质：若 \(E\) 是 \(L_1, \dots, L_n\) 的直接和，则从中任取的非零元素 \(x_1, \dots, x_n\) 必线性无关。
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构造：考虑有序组 \(x = (x_1, \dots, x_n)\) 构成的集，定义分量加法和数乘，则该集构成 \(L_k\) 的直接和。
5. 赋范线性空间 (Normed Linear Space)
在线性空间中引入拓扑，必须与线性运算结合。
定义 5.5 (范数)
设 \(E\) 是线性空间。如果对于 \(E\) 中每个元素 \(x\) 都有一个实数 \(\|x\|\) 与之对应，且满足：
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(i) 非负性：\(\|x\| \ge 0\)，且 \(\|x\| = 0 \iff x = \theta\)；
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(ii) 齐次性：\(\|\alpha x\| = |\alpha| \|x\|\)；
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(iii) 三角不等式：\(\|x+y\| \le \|x\| + \|y\|\)。
则称 \(E\) 为赋范线性空间，\(\|x\|\) 称为范数。
5.1 距离与强收敛
赋范线性空间自然诱导距离 \(\rho(x, y) = \|x - y\|\)。
- 依范数收敛（强收敛）：点列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(x\) 是指 \(\|x_n - x\| \rightarrow 0\)。
5.2 线性运算的连续性
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(i) 范数 \(\|x\|\) 是连续泛函：\(| \|x_n\| - \|x\| | \le \|x_n - x\|\)。若 \(x_n\) 依范数收敛，则 \(\{x_n\}\) 有界。
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(ii) 加法连续性：若 \(x_n \to x, y_n \to y\)，则 \(x_n + y_n \to x+y\)。
\[ \|x_n + y_n - (x+y)\| \le \|x_n - x\| + \|y_n - y\| \rightarrow 0 \] -
(iii) 数乘连续性：若 \(\alpha_n \to \alpha, x_n \to x\)，则 \(\alpha_n x_n \to \alpha x\)。
证明：数乘连续性
6. 经典赋范线性空间实例
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1. \(\mathbb{R}^n\) 与 \(\mathbb{C}^n\)： 对于 \(x = (\xi_1, \dots, \xi_n)\)，定义欧氏范数：
\[ \|x\| = \sqrt{\sum_{j=1}^n |\xi_j|^2} \] -
2. 连续函数空间 \(C[a, b]\)： 定义极大值范数：
\[ \|x\| = \max_{t \in [a, b]} |x(t)| \] -
3. 序列空间 \(l^p\) (\(1 \le p < \infty\))： 由满足 \(\sum_{j=1}^\infty |\xi_j|^p < \infty\) 的数列构成，范数为：
\[ \|x\|_p = \left( \sum_{j=1}^\infty |\xi_j|^p \right)^{\frac{1}{p}} \]其三角不等式 \(\|x+y\|_p \le \|x\|_p + \|y\|_p\) 即为 Minkowski 不等式。
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4. 可积函数空间 \(L^p(F)\) (\(1 \le p < \infty\))： 设 \(F \subset \mathbb{R}\) 为可测集，范数定义为：
\[ \|f\|_p = \left( \int_F |f(t)|^p dt \right)^{\frac{1}{p}} \] -
5. 连续导数空间 \(C^k[a, b]\)： 具有直到 \(k\) 阶连续导数的函数全体，范数定义为：
\[ \|x\| = \sum_{j=0}^{k} \max_{t \in [a, b]} |x^{(j)}(t)| \]