第四章：不动点定理及其应用

在泛函分析、微分方程、积分方程以及其他各类方程的理论中，解的存在性、唯一性以及近似解的收敛性等都是相当重要的课题。为了讨论这些方程解的存在性及唯一性，我们常常将它们转化成求某一映射的不动点问题。

定义 4.1 (不动点)

设 \(T\) 是定义在空间 \(X\) 上的映射。如果存在点 \(x \in X\)，满足：

\[ T(x) = x \]

则称点 \(x\) 为映射 \(T\) 的不动点。

1. 基本的不动点定理：压缩映射原理

1.1 压缩映射与不动点定理

定理 4.1 (压缩映射原理)

设 \(X\) 是完备的距离空间，距离为 \(\rho\)。\(T\) 是由 \(X\) 到其自身的映射，且对任意的 \(x, y \in X\)，不等式：

\[ \rho(Tx, Ty) \le \theta \rho(x, y) \]

成立，其中 \(\theta\) 是满足 \(0 \le \theta < 1\) 的常数。

那么，\(T\) 在 \(X\) 中存在唯一的不动点，即存在唯一的 \(\overline{x}\) 使得 \(T\overline{x} = \overline{x}\)，且该不动点可以用迭代法求得。

满足定理条件的映射 \(T\) 称为压缩映射。

压缩映射原理的证明

1. 构造迭代序列并证明其为基本列 (Cauchy 列)：

在 \(X\) 中任意取定一点 \(x_0\)，我们通过迭代构造点列：

\[ x_1 = Tx_0, \quad x_2 = Tx_1, \quad \dots, \quad x_{n+1} = Tx_n, \quad \dots \]

我们首先计算相邻两项之间的距离。由压缩映射的定义可知：

\[ \rho(x_1, x_2) = \rho(Tx_0, Tx_1) \le \theta \rho(x_0, x_1) \]

\[ \rho(x_2, x_3) = \rho(Tx_1, Tx_2) \le \theta \rho(x_1, x_2) \le \theta^2 \rho(x_0, x_1) \]

应用数学归纳法，可以得到一般性的递推关系：

\[ \rho(x_{n-1}, x_n) \le \theta^{n-1} \rho(x_0, x_1) \]

进而：

\[ \rho(x_n, x_{n+1}) = \rho(Tx_{n-1}, Tx_n) \le \theta \rho(x_{n-1}, x_n) \le \theta^n \rho(x_0, x_1) \]

对于任意的自然数 \(p \ge 1\)，利用三角不等式以及上述距离放缩，我们有：

\[ \rho(x_n, x_{n+p}) \le \rho(x_n, x_{n+1}) + \rho(x_{n+1}, x_{n+2}) + \dots + \rho(x_{n+p-1}, x_{n+p}) \]

\[ \le (\theta^n + \theta^{n+1} + \dots + \theta^{n+p-1}) \rho(x_0, x_1) \]

利用等比数列求和公式，并注意到 \(\theta < 1\)：

\[ \le \frac{\theta^n}{1 - \theta} \rho(x_0, x_1) \]

由于 \(0 \le \theta < 1\)，当 \(n \rightarrow \infty\) 时，\(\theta^n \rightarrow 0\)。因此对于任给的 \(\epsilon > 0\)，当 \(n\) 充分大时，对一切 \(p \ge 1\) 均有 \(\rho(x_n, x_{n+p}) < \epsilon\)。

这说明 \(\{x_n\}\) 是一个基本列。由于空间 \(X\) 是完备的，\(\{x_n\}\) 必然收敛于 \(X\) 中的某一点 \(\overline{x} \in X\)。

2. 证明极限点是不动点：

由于压缩映射满足 Lipschitz 条件（常数 \(\theta < 1\)），它必然是一个连续映射。

在递推关系 \(x_{n+1} = Tx_n\) 的两端同时令 \(n \rightarrow \infty\)，利用连续性可得：

\[ \lim_{n \rightarrow \infty} x_{n+1} = \lim_{n \rightarrow \infty} Tx_n = T(\lim_{n \rightarrow \infty} x_n) \]

即：

\[ \overline{x} = T\overline{x} \]

这证明了 \(\overline{x}\) 是映射 \(T\) 的一个不动点。

3. 证明不动点的唯一性：

假设存在另外一个不动点 \(\overline{y} \in X\) 满足 \(\overline{y} = T\overline{y}\)。我们计算 \(\overline{x}\) 与 \(\overline{y}\) 的距离：

\[ \rho(\overline{x}, \overline{y}) = \rho(T\overline{x}, T\overline{y}) \le \theta \rho(\overline{x}, \overline{y}) \]

即 \((1 - \theta)\rho(\overline{x}, \overline{y}) \le 0\)。

由于 \(\theta < 1\) 且距离非负，必定有 \(\rho(\overline{x}, \overline{y}) = 0\)，也就是 \(\overline{x} = \overline{y}\)。证明完毕。 \(\square\)

1.2 迭代序列的误差估计

由证明过程可以看出，为了获得不动点，我们可以从 \(X\) 中的任一点 \(x_0\) 出发建立迭代序列 \(x_n = T^n x_0\)。

在大多数情况下，精确的不动点不易求得，因此我们往往用 \(x_n\) 作为其近似值。根据证明过程中的放缩，我们可以得到 \(x_n\) 与真实不动点 \(\overline{x}\) 之间的误差估计（令 \(p \rightarrow \infty\)）：

\[ \rho(x_n, \overline{x}) \le \frac{\theta^n}{1 - \theta} \rho(x_0, x_1) \]

2. 压缩映射原理的应用

2.1 微分方程初值问题解的存在性与唯一性

考察一阶常微分方程初值问题（Picard 存在唯一性定理）：

\[ \frac{dy}{dx} = f(x, y), \quad y|_{x=x_0} = y_0 \]

假设 \(f(x, y)\) 在一个区域上连续，并且关于 \(y\) 满足 Lipschitz 条件：

\[ |f(x, y) - f(x, y')| \le K|y - y'| \]

其中 \(K > 0\) 为常数。

由微积分理论可知，该微分方程初值问题等价于下面的 Volterra 型积分方程：

\[ y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t, y(t)) dt \]

利用压缩映射原理论证（点击展开）

取充分小的 \(\delta > 0\)，使得 \(K\delta < 1\)。

我们在连续函数空间 \(C[x_0 - \delta, x_0 + \delta]\) 上定义映射 \(T\)：

\[ (Ty)(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t, y(t)) dt, \quad x \in [x_0 - \delta, x_0 + \delta] \]

对于任意两个连续函数 \(y_1(x), y_2(x) \in C[x_0 - \delta, x_0 + \delta]\)，计算它们经过映射 \(T\) 后的距离：

\[ \rho(Ty_1, Ty_2) = \max_{x \in [x_0 - \delta, x_0 + \delta]} \left| \int_{x_0}^x [f(t, y_1(t)) - f(t, y_2(t))] dt \right| \]

利用 Lipschitz 条件放缩：

\[ \le \max_{x} \left| \int_{x_0}^x K |y_1(t) - y_2(t)| dt \right| \]

\[ \le K \delta \max_{t \in [x_0 - \delta, x_0 + \delta]} |y_1(t) - y_2(t)| = K\delta \rho(y_1, y_2) \]

由于我们选取了 \(K\delta < 1\)，故 \(T\) 是一个压缩映射。由压缩映射原理可知，在空间 \(C[x_0 - \delta, x_0 + \delta]\) 中存在唯一的连续函数 \(y_0(x)\) 满足积分方程，即初值问题在该区间内有唯一解。

随后可将此解进一步向外延拓，最终可将解延拓到整个实轴上。 \(\square\)

2.2 线性积分方程解的存在性与唯一性

设有 Fredholm 第二类线性积分方程：

\[ x(t) = f(t) + \lambda \int_a^b K(t, s)x(s) ds \]

其中已知函数 \(f \in L^2[a, b]\)，\(\lambda\) 为参数。核函数 \(K(t, s)\) 是定义在矩形区域 \(a \le t \le b\), \(a \le s \le b\) 上的可测函数，且满足平方可积条件：

\[ \int_a^b \int_a^b |K(t, s)|^2 dt ds < \infty \]

证明：当 \(|\lambda|\) 充分小时方程有唯一解

我们在完备的距离空间 \(L^2[a, b]\) 上定义映射 \(T\)：

\[ (Tx)(t) = f(t) + \lambda \int_a^b K(t, s)x(s) ds \]

首先由 Cauchy-Schwarz 不等式易证 \(Tx \in L^2[a, b]\)，即 \(T\) 是由 \(L^2[a, b]\) 到其自身的映射：

\[ \int_a^b \left| \int_a^b K(t,s)x(s)ds \right|^2 dt \le \int_a^b \left[ \int_a^b |K(t,s)|^2 ds \int_a^b x(s)^2 ds \right] dt < \infty \]

接着，取 \(|\lambda|\) 充分小，使得：

\[ \theta = |\lambda| \left[ \int_a^b \int_a^b |K(t, s)|^2 ds dt \right]^{\frac{1}{2}} < 1 \]

计算任意 \(y_1, y_2 \in L^2[a,b]\) 映射后的距离（由 Cauchy-Schwarz 不等式）：

\[ \rho(Ty_1, Ty_2) = |\lambda| \left[ \int_a^b \left| \int_a^b K(t, s)(y_1(s) - y_2(s)) ds \right|^2 dt \right]^{\frac{1}{2}} \]

\[ \le |\lambda| \left[ \int_a^b \int_a^b |K(t, s)|^2 ds dt \right]^{\frac{1}{2}} \left[ \int_a^b |y_1(s) - y_2(s)|^2 ds \right]^{\frac{1}{2}} \]

\[ = \theta \rho(y_1, y_2) \]

由于 \(\theta < 1\)，故 \(T\) 为压缩映射。由压缩映射原理可知，当参数 \(\lambda\) 的模充分小时，方程在 \(L^2[a, b]\) 中存在唯一的解 \(y\)。 \(\square\)

3. 推广的压缩映射原理

有时，映射 \(T\) 本身并不满足严格的压缩映射条件，但它的某次迭代映射满足该条件（例如后文将介绍的 Volterra 积分方程）。此时需要对压缩映射原理加以推广。

记 \(T^2x = T(Tx)\)，一般地，对任何自然数 \(n\)，归纳定义 \(T^nx = T(T^{n-1}x)\)。

定理 4.2 (推广的压缩映射原理)

设 \(X\) 是完备的距离空间，距离为 \(\rho\)。\(T\) 是由 \(X\) 到其自身的映射。如果存在一个自然数 \(n_0\)，使得对任意的 \(x, y \in X\)，不等式：

\[ \rho(T^{n_0}x, T^{n_0}y) \le \theta \rho(x, y) \]

成立，其中 \(\theta\) 是满足 \(0 \le \theta < 1\) 的常数。

那么，\(T\) 在 \(X\) 中存在唯一的不动点。

推广的压缩映射原理的证明

1. 存在性：

由已知条件可知，映射 \(T^{n_0}\) 满足标准的压缩映射原理。由于 \(X\) 完备，故映射 \(T^{n_0}\) 在 \(X\) 中存在唯一的不动点，记为 \(\overline{x}\)。即：

\[ T^{n_0}\overline{x} = \overline{x} \]

我们需要证明这个 \(\overline{x}\) 也是原映射 \(T\) 的不动点。我们在上式两边同时作用算子 \(T\)：

\[ T(T^{n_0}\overline{x}) = T\overline{x} \]

利用算子结合律：

\[ T^{n_0}(T\overline{x}) = T^{n_0+1}(\overline{x}) = T(T^{n_0}\overline{x}) = T\overline{x} \]

这说明 \(T\overline{x}\) 这个元素，经过 \(T^{n_0}\) 映射后等于自身。即 \(T\overline{x}\) 也是映射 \(T^{n_0}\) 的不动点。

但是，根据前面的结论，\(T^{n_0}\) 的不动点是唯一的，所以必定有：

\[ T\overline{x} = \overline{x} \]

这证明了 \(\overline{x}\) 确实也是映射 \(T\) 的不动点。

2. 唯一性：

假设 \(T\) 存在另一个不动点 \(\overline{y}\)，满足 \(T\overline{y} = \overline{y}\)。那么进行多次迭代自然也有：

\[ T^{n_0}\overline{y} = T^{n_0-1}(T\overline{y}) = T^{n_0-1}\overline{y} = \dots = \overline{y} \]

说明 \(\overline{y}\) 也是 \(T^{n_0}\) 的不动点。由于 \(T^{n_0}\) 不动点的唯一性，必然得出 \(\overline{y} = \overline{x}\)。 \(\square\)

4. 推广定理的应用：Volterra 积分方程解的存在性

对于 Volterra 积分方程，其积分上限是变量 \(t\)，而不是固定的常数 \(b\)。

定理 4.3

设核函数 \(K(t, s)\) 是定义在三角形区域 \(a \le t \le b\), \(a \le s \le t\) 上的连续函数。

则 Volterra 积分方程：

\[ x(t) = f(t) + \lambda \int_a^t K(t, s)x(s) ds \]

对任何给定的 \(f \in C[a, b]\) 以及任何常数 \(\lambda \ne 0\)，在空间 \(C[a, b]\) 中存在唯一的解 \(x\)。

证明：利用推广的压缩映射原理（点击展开）

我们在完备空间 \(C[a, b]\) 上定义映射 \(T\)：

\[ (Tx)(t) = f(t) + \lambda \int_a^t K(t, s)x(s) ds \]

记核函数的最大值为 \(M = \max_{a \le t \le b, a \le s \le t} |K(t, s)|\)。

对于任意的 \(y_1, y_2 \in C[a, b]\)，计算经过一次映射后的偏差：

\[ |(Ty_1)(t) - (Ty_2)(t)| = |\lambda| \left| \int_a^t K(t, s)(y_1(s) - y_2(s)) ds \right| \]

\[ \le |\lambda| M \int_a^t |y_1(s) - y_2(s)| ds \]

\[ \le |\lambda| M (t - a) \max_{s \in [a, b]} |y_1(s) - y_2(s)| = |\lambda| M (t - a) \rho(y_1, y_2) \]

注意这里得到的是带有变量 \(t\) 的上界。当 \(\lambda\) 较大或者区间较长时，\(|\lambda| M (t - a)\) 可能不小于 1，所以 \(T\) 并不一定是压缩映射。

但我们可以继续计算第二次、第三次迭代，利用数学归纳法证明如下不等式：

\[ |(T^n y_1)(t) - (T^n y_2)(t)| \le \frac{(|\lambda| M (t - a))^n}{n!} \rho(y_1, y_2) \]

归纳推导过程：假设对于 \(n\) 成立，对于 \(n+1\) 步：

\[ |(T^{n+1} y_1)(t) - (T^{n+1} y_2)(t)| = |\lambda| \left| \int_a^t K(t, s) (T^n y_1(s) - T^n y_2(s)) ds \right| \]

\[ \le |\lambda| M \int_a^t \frac{(|\lambda| M (s - a))^n}{n!} \rho(y_1, y_2) ds \]

由于 \(\int_a^t (s - a)^n ds = \frac{(t - a)^{n+1}}{n+1}\)，代入上式即得：

\[ \le \frac{(|\lambda| M (t - a))^{n+1}}{(n+1)!} \rho(y_1, y_2) \]

归纳法证明完毕。

由于对于任意的 \(t \in [a, b]\)，都有 \((t-a) \le (b-a)\)，我们在两侧对 \(t\) 取上确界，可以得到距离：

\[ \rho(T^n y_1, T^n y_2) \le \frac{(|\lambda| M (b - a))^n}{n!} \rho(y_1, y_2) \]

由微积分知识可知，对于任意固定的常数 \(C = |\lambda| M (b - a)\)，随着 \(n \rightarrow \infty\)，有：

\[ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{C^n}{n!} = 0 \]

因此，无论 \(\lambda\) 有多大，总是可以选取足够大的 \(n_0\)，使得：

\[ \theta = \frac{(|\lambda| M (b - a))^{n_0}}{n_0!} < 1 \]

这意味着映射 \(T^{n_0}\) 是一个严格的压缩映射。根据推广的压缩映射原理，映射 \(T\) 在 \(C[a, b]\) 中存在唯一的不动点，即原 Volterra 积分方程对任何参数 \(\lambda\) 都存在唯一解。 \(\square\)