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3.2 三大收敛定理与依测度收敛

在黎曼积分中，要交换极限和积分号通常需要极为苛刻的“一致收敛”条件。而在勒贝格积分的框架下，由于积分是建立在测度基础上的，我们只需要很弱的条件即可实现积分与极限的交换。构筑这一宏大理论的基石便是著名的“三大收敛定理”。

1. 单调收敛定理 (MCT)

单调收敛定理 (Monotone Convergence Theorem) 是建立积分理论的第一块基石。它表明，对于非负递增的函数列，极限的积分等于积分的极限。

定理 3.2.1 (单调收敛定理 MCT)

设 \(\{f_n\}_{n=1}^\infty \subset L^+\) 为一列非负可测函数。如果它几乎处处单调递增，且逐点收敛于 \(f\)：

\[ 0 \le f_1 \le f_2 \le \dots \le f_n \le \dots \text{ a.e.} \quad \text{且} \quad \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) \text{ a.e.} \]

那么 \(f \in L^+\)，并且有：

\[ \int_X f \, d\mu = \lim_{n \to \infty} \int_X f_n \, d\mu \]
单调收敛定理的证明

首先，由于 \(f_n \le f\)，由积分的单调性显然有 \(\int f_n \le \int f\)，从而 \(\lim_{n \to \infty} \int f_n \le \int f\)。

接下来我们需要证明反向的不等式。任取一个满足 \(0 \le \phi \le f\) 的非负简单函数 \(\phi\)，以及任意常数 \(\alpha \in (0, 1)\)。 定义可测集序列：

\[ E_n = \{x \in X : f_n(x) \ge \alpha \phi(x)\} \]

因为 \(f_n\) 单调递增，所以集合序列是递增的，即 \(E_1 \subset E_2 \subset \dots\)。 又因为 \(f_n \to f \ge \phi > \alpha \phi\) (当 \(\phi > 0\) 时)，所以 \(\bigcup_{n=1}^\infty E_n = X\)。

根据积分的性质，我们有：

\[ \int_X f_n \, d\mu \ge \int_{E_n} f_n \, d\mu \ge \alpha \int_{E_n} \phi \, d\mu \]

令 \(n \to \infty\)，利用测度（及简单函数积分）的自下连续性：

\[ \lim_{n \to \infty} \int_X f_n \, d\mu \ge \alpha \int_X \phi \, d\mu \]

由于 \(\alpha \in (0, 1)\) 是任意的，令 \(\alpha \to 1\)，得到 \(\lim \int f_n \ge \int \phi\)。再对所有满足 \(0 \le \phi \le f\) 的简单函数取上确界，即得：

\[ \lim_{n \to \infty} \int_X f_n \, d\mu \ge \int_X f \, d\mu \]

结合两个方向的不等式，定理得证。

利用 MCT，我们可以立刻推导出级数积分的逐项求和性质。

推论 (非负级数的逐项积分)

设 \(\{f_n\}_{n=1}^\infty \subset L^+\) 为非负可测函数列，则：

\[ \int_X \left( \sum_{n=1}^\infty f_n \right) d\mu = \sum_{n=1}^\infty \int_X f_n \, d\mu \]

2. Fatou 引理

对于不一定单调的非负函数列，我们无法直接得到等号，但可以得到一个极具价值的不等式。它是连接 MCT 和 DCT 的桥梁。

定理 3.2.2 (Fatou 引理)

设 \(\{f_n\}_{n=1}^\infty \subset L^+\) 是一列非负可测函数，则：

\[ \int_X \left( \liminf_{n \to \infty} f_n \right) d\mu \le \liminf_{n \to \infty} \int_X f_n \, d\mu \]
Fatou 引理的证明

定义函数列 \(g_n(x) = \inf_{k \ge n} f_k(x)\)。

显然 \(\{g_n\}\) 也是非负可测函数列，且由于随着 \(n\) 的增大，求下确界的范围在缩小，所以 \(\{g_n\}\) 是单调递增的，即 \(g_1 \le g_2 \le \dots\)。 由下极限的定义：

\[ \lim_{n \to \infty} g_n(x) = \liminf_{n \to \infty} f_n(x) \]

因为对于所有的 \(k \ge n\) 都有 \(g_n \le f_k\)，特别地有 \(g_n \le f_n\)，所以：

\[ \int_X g_n \, d\mu \le \int_X f_n \, d\mu \]

两边取下极限：

\[ \liminf_{n \to \infty} \int_X g_n \, d\mu \le \liminf_{n \to \infty} \int_X f_n \, d\mu \]

另一方面，由于 \(g_n\) 单调递增，应用单调收敛定理 (MCT) 于 \(\{g_n\}\)：

\[ \liminf_{n \to \infty} \int_X g_n \, d\mu = \lim_{n \to \infty} \int_X g_n \, d\mu = \int_X \left( \lim_{n \to \infty} g_n \right) d\mu = \int_X \left( \liminf_{n \to \infty} f_n \right) d\mu \]

综合以上两式，即得 Fatou 引理。

3. 控制收敛定理 (DCT)

这是实分析中使用频率最高的收敛定理。它放宽了单调性的要求，代价是需要一个可积的“控制函数”。

定理 3.2.3 (Lebesgue 控制收敛定理 DCT)

设 \(\{f_n\}\) 是一列可测函数，几乎处处收敛于 \(f\)：

\[ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) \quad \text{a.e.} \]

如果存在一个非负的可积函数 \(g \in L^1(\mu)\)，使得对于所有的 \(n\)，几乎处处有：

\[ |f_n(x)| \le g(x) \quad \text{a.e.} \]

那么 \(f \in L^1(\mu)\)，并且：

\[ \lim_{n \to \infty} \int_X f_n \, d\mu = \int_X f \, d\mu \quad \text{且} \quad \lim_{n \to \infty} \int_X |f_n - f| \, d\mu = 0 \]
控制收敛定理的证明

由于 \(|f_n| \le g\) 且 \(f_n \to f\)，取极限知 \(|f| \le g\) a.e.。因为 \(g \in L^1\)，所以 \(f \in L^1\)。

我们构造两个非负函数列：\(g + f_n \ge 0\) 以及 \(g - f_n \ge 0\)。

对 \(g + f_n\) 应用 Fatou 引理：

\[ \int_X (g + f) \, d\mu \le \liminf_{n \to \infty} \int_X (g + f_n) \, d\mu = \int_X g \, d\mu + \liminf_{n \to \infty} \int_X f_n \, d\mu \]

因为 \(g\) 可积，可以消去两边的 \(\int g\)，得到：

\[ \int_X f \, d\mu \le \liminf_{n \to \infty} \int_X f_n \, d\mu \]

同理，对 \(g - f_n\) 应用 Fatou 引理：

\[ \int_X (g - f) \, d\mu \le \liminf_{n \to \infty} \int_X (g - f_n) \, d\mu = \int_X g \, d\mu - \limsup_{n \to \infty} \int_X f_n \, d\mu \]

再次消去 \(\int g\)，化简得到：

\[ \limsup_{n \to \infty} \int_X f_n \, d\mu \le \int_X f \, d\mu \]

结合上述两式，必有 \(\liminf = \limsup = \lim\)，从而证明了 \(\lim_{n \to \infty} \int f_n = \int f\)。 将上述证明中的 \(f_n\) 替换为 \(|f_n - f|\)（它被 \(2g\) 控制），同理可证 \(\lim \int |f_n - f| = 0\)。

4. 依测度收敛与经典关系

除了几乎处处收敛 (a.e.) 和 \(L^1\) 收敛，测度论中还有一种在概率论中极为重要的收敛性——依测度收敛（对应于概率论中的依概率收敛）。

定义 3.2.1 (依测度收敛)

设 \(f_n, f\) 为可测函数。如果对于任意 \(\epsilon > 0\)，满足以下条件的集合的测度趋于 0：

\[ \lim_{n \to \infty} \mu(\{x \in X : |f_n(x) - f(x)| \ge \epsilon\}) = 0 \]

则称 \(f_n\) 依测度收敛于 \(f\)，记作 \(f_n \xrightarrow{\mu} f\)。

同理，若 \(\mu(\{x : |f_n(x) - f_m(x)| \ge \epsilon\}) \to 0\) (\(n, m \to \infty\))，则称 \(\{f_n\}\) 是依测度的 Cauchy 列。

依测度收敛与几乎处处收敛之间有着微妙的关系。著名的 Riesz 定理指出了这两种收敛的子列关系。

定理 3.2.4 (Riesz 定理)

  • 如果 \(\{f_n\}\) 是依测度的 Cauchy 列，则它必然依测度收敛到某个可测函数 \(f\)。

  • 如果 \(f_n \xrightarrow{\mu} f\)，那么必定存在 \(\{f_n\}\) 的一个子列 \(\{f_{n_k}\}\)，使得该子列几乎处处收敛于 \(f\)：

\[ f_{n_k}(x) \to f(x) \quad \text{a.e. as } k \to \infty \]

在有限测度空间上，几乎处处收敛甚至可以推导出比依测度收敛更强的性质，即近乎一致收敛。

定理 3.2.5 (Egoroff 定理)

设 \(\mu(X) < \infty\)。如果 \(\{f_n\}\) 在 \(X\) 上几乎处处收敛于 \(f\)，那么对于任意 \(\epsilon > 0\)，存在一个可测子集 \(E \subset X\) 满足：

  • \(\mu(E) < \epsilon\) （剔除的坏集测度极小）

  • \(f_n\) 在保留的集合 \(E^c = X \setminus E\) 上一致收敛于 \(f\)。

Egoroff 定理的证明核心

构造集合 \(E_n(k) = \bigcup_{m=n}^\infty \{x : |f_m(x) - f(x)| \ge \frac{1}{k}\}\)。 因为 \(f_n \to f\) a.e.，对于固定的 \(k\)，随着 \(n \to \infty\)，集合序列 \(E_n(k)\) 单调递减且其交集的测度为 0。 由于全空间测度有限，利用测度的自上连续性，必然有 \(\lim_{n \to \infty} \mu(E_n(k)) = 0\)。

对于每一个 \(k\)，我们可以选取足够大的 \(N_k\)，使得 \(\mu(E_{N_k}(k)) < \epsilon \cdot 2^{-k}\)。 令坏集 \(E = \bigcup_{k=1}^\infty E_{N_k}(k)\)。由次可加性，\(\mu(E) < \sum \epsilon 2^{-k} = \epsilon\)。 在 \(E^c\) 上，对于任意 \(k\) 只要 \(n > N_k\) 就有 \(|f_n - f| < 1/k\)，这恰好是一致收敛的定义。

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